ていへんかけるたかさわるに

9 時起床.

朝の鬱が軽くなってきたおかげで, 徐々に午前中の 8 時から 9 時くらいの時間に起きられるようになってきた.
十分に休んでいれば, ゆっくりだけれど回復はしてくるんだなあと思う.

けれど, 今朝は妙に不安感が強い.
何が不安なのか漠然としていてよくわからない.
社会から孤立してしまうこととか, その辺りのような気もするが, 何かぼんやりとしている.

数学をやろうと思ったのだが, 不安感と動悸のために集中することが難しい.
動悸がだんだん激しくなってきたので横になって休む.
深呼吸をしたり水を飲んだりして落ち着くのを待つ.

今日は夜まで不安・動悸の波にさらされていた.
横になって休みながら, 合い間の細切れの時間に数学をやったり絵を描いたり本を読んだりという感じ.
動悸がかなり苦しく, 頓服も結局 4 錠飲んだ.
最近では一日にこれだけ頓服を飲むのは久し振りだと思う.

絵は近所の町工場の絵で, 昨日から色を塗り始めた.
建物を灰色に, 背景の空を青く塗る.
楽しい.
いい感じで描いていけそうだ.

数学は細切れの時間でやるのはやはり難しい.
小さい補足のようなことをした.

圏 $\mathscr{C}$ における始対象 $I$ とは, $\mathscr{C}$ における任意の対象 $A$ に対して, $I$ から $A$ への射がただ 1 つ存在するような対象のことである.

この定義を, 次のように言い換える.

圏 $\mathscr{C}$ における始対象 $I$ とは, $\mathscr{C}$ における任意の対象 $A$ と任意の射 $i : I \rightarrow A$, $j : I \rightarrow A$ に対して, 図式:
$$
\xymatrix {
I \ar[r]^{i} \ar[dr]_{j} & A \ar[d]^{\text{id}_{A}} \\
~ & A
}
$$ が可換図式となるものである.

自明な言い換えだが, こうしておくと, 可換図式を使って議論を進めていくときに目立たないところで密かに便利であることに気がついた.

この概念の双対をとることで終対象について同様のことが言える.

圏 $\mathscr{C}$ における終対象 $T$ とは, $\mathscr{C}$ における任意の対象 $A$ に対して, $A$ から $T$ への射がただ 1 つ存在するような対象のことである.

この定義は, 次のように言い換えられる.

圏 $\mathscr{C}$ における終対象 $T$ とは, $\mathscr{C}$ における任意の対象 $A$ と任意の射 $t : A \rightarrow T$, $u : A \rightarrow T$ に対して, 図式:
$$
\xymatrix {
A \ar[d]_{\text{id}_{A}} \ar[r]^{t} & T \\
A \ar[ur]_{u} &
}
$$ が可換図式となるものである.

こういう道具 (?) を用意していくのも大切なことだと思う.

明日は体調が良ければもう少しまとまったことがやりたい.

夕食は蕪と油揚げの煮物, 納豆とご飯と沢庵.

夜になって不安感は治まった.
頓服を普段よりも多く飲んだので明日に残るかも.

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2017, 2.17 付記
上の始対象・終対象に関する補足の記述には誤りがある.
始対象の定義は, 始対象から任意の対象への射が一意的に存在するということなので, 定義の言い換えは以下のように記述しなければならない. 終対象についても同様である.

始対象について:
圏 $\mathscr{C}$ における始対象 $I$ とは, $\mathscr{C}$ における任意の対象 $A$ に対して $I$ から $A$ への射が少なくとも 1 つ存在して, 任意の射 $i : I \rightarrow A$, $j : I \rightarrow A$ に対して, 図式:
$$
\xymatrix {
I \ar[r]^{i} \ar[dr]_{j} & A \ar[d]^{\text{id}_{A}} \\
~ & A
}
$$ が可換図式となるものである.

終対象について:
圏 $\mathscr{C}$ における終対象 $T$ とは, $\mathscr{C}$ における任意の対象 $A$ に対して $A$ から $T$ への射が少なくとも 1 つ存在して, 任意の射 $t : A \rightarrow T$, $u : A \rightarrow T$ に対して, 図式:
$$
\xymatrix {
A \ar[d]_{\text{id}_{A}} \ar[r]^{t} & T \\
A \ar[ur]_{u} &
}
$$ が可換図式となるものである.