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三角対数と対数関数の積（芸術的な関数？）
三角関数と対数関数の積です。logx が単調増加関数なので、sinx を掛けると x の値と共に振幅が増加するグラフとなります。 0 < x < 1 で logx < 0 であり、その範囲で sinx > 0ですから、両者の積は負になります。x > 1 では logx > 0 ですから関数の正負は sinx の正負と連動します。形を予測することは難しくないですが、手書きで描こうとすると案外面倒です。sinx の部分を sin 2x に代えてみると下のようなグラフになります。
先と同じ理由で 0 < x < 1 で負の値をとりますが、以降は y ≧ 0 です。x = n・pi のときに y = 0 となります（pi は円周率）。
次のグラフは y = logx/(1 + x) という微積分の演習問題によくでてくる関数です。
単純に cosx を乗じてみますと・・・・・・
予想通りグラフ全体がぐにゃりと曲がります。では、y = logx/(1 + x) を少し変形して y = log(cosx + 2)/(1 + x) としてみます。log の中身を三角関数に変えてみるのです。中身に 2 を加えてあるのはちょっとしたテクニックです。対数関数は 0 以下の数字をとれないので、普通は変数の絶対値をとって、0 を省くというようなことをやるのですが、cosx は最小でも−1 しかとれないのですから、予め中身に 2 を加えてしまったほうが簡単な式ですみます。ようするに私が楽をできるのです。さて、グラフを描いてみると・・・・・・
地面に落ちたボールがバウンドするような減衰関数であることがわかります。シンプルなグラフではありますが、やはり増減表を作って手書きするのはしんどいと思います。エクセルなら操作に慣れていれば５分で描けます。
上の関数の分子に着目して、
x = log(cosθ + 2)
y = log(sinθ + 2)
という媒介変数表示の関数を作ってみました。
おにぎりみたいな形ですね・・・・・・。これに無理数を変数とした三角関数を加えてみます。
美しい曲線が現れましたね。「おにぎり」から「芸術」に変化しました、とは言い過ぎですかね。
⇒ なんとなくの数学日記（読書が好きです）
