Excel VBA　数学実験室

　双曲線関数 の自然対数
　

のグラフは次のようになります。

　

　 では は無視できるので、直線 に漸近します。同様に のときは直線 に漸近します。すなわち原点付近以外では近似的に とみなせる関数です。 のグラフは下図のようになります。

　

　 のあたりで、両関数の差はほとんどなくなっていることがわかります。 　

[Excel] 波の数を増やしてギザギザにします

　今回は f(x) = log [1 + x + 1/x + g(x)] という関数を作って g(x) に三角関数を入れてみます。その前にまず g(x) = 0 としたときのグラフを見ておきましょう。

　

　原点付近で + ∞ になり、極小値を作ったあと再びゆったりと + ∞ へ向かう関数です。
　それでは g(x) = cosx を入れてみます。

　

　全体的になだらかに波打つようになりました。
　cosx の影響で極小値をとる x もずいぶんと右側に寄っています。
　今度は g(x) = cosx + sinx としてみます。

　

　波の数が増えてきました。g(x) = cos5x + sin2x とすると ......

　

　振動周期が短いのでギザギザです。

[Excel] 波打ちながら二次関数的に振る舞うグラフ

　三次関数を１次式を含む関数で割って、二次関数的なグラフを解析してみます。y = x ³ を x − sinx で割ってみます。定義域は 0 < x です。



　予想通り波打ちながら２次関数のように振る舞うグラフが描かれました。(10, 100), (20, 400) の付近を通っていますね。しかし前回と異なり、原点付近で急増する関数ではありません。むしろ原点付近では平坦になっていますね。これは x − sinx と x ³ が均衡を保っているということを示しています。具体的に計算してみますと、

　　　x = 0.1 ： y = 1.000E-03 / 1.666E-04
　　　x = 0.01 ： y = 1.000E-06 / 1.667E-07
　　　x = 0.001： y = 1.000E-12 / 1.667E-13

　というように、急激に x を変化させても比率（およそ 1 桁違います）を保持しています。
　原点付近の拡大図を見てみましょう。



　x → 0 の極限で y → 6 になることがグラフから見てとれます。不思議なことにきっちり 6 という整数です。この値はどこからくるのでしょうか？　その答えは sinx の級数展開にあります。連続で微分可能な関数は x の多項式で表すことができることが知られています。 sinx の場合は、


　となります。これを y に代入して分子・分母を x ³ で割ると、


という形になりますね。x → 0 の極限を取れば y → 6 が得られます。数値計算だけではデータで 6.003000786 のような値を見ることになるので、本当に正確に 6 に収束するかどうか確信することはできません。大事なところは数学の基本に立ち返るということも大切です。 　

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階乗の対数を計算します

　n! の自然対数をとって


という数列をプロットしてみます（ n ≧ 1 で定義します）。

　

　n! はとても大きな値を返す演算です。たとえば n = 40 であっても


という巨大数になってしまいます。logx は抑え込みの強い関数なので log(n!) の増加曲線は比較的緩やかになりますが、それでもその増加率は少しずつ大きくなり、たとえば区間 [10, 20] では �冉/�冢 ≒ 1.8 であるのに対し、[100, 110] では �冉/�冢 ≒ 3.7 に上昇します。そこで log(n!) を n で割ってみると ......

　

　�冉/�冢 は n の増加と共に小さくなります。
　それでもなお n! の寄与が勝って上昇曲線を描いていますね。
　log(n!) を n² で割って初めて減少関数となります。

　 　

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周期的な結節点 (crunode) をもったグラフを作ります

　今回は


という方程式を扱います。y = f(x) の形で表すと


という多価関数です。ここで平方根の中身が常に正となるように a の範囲を定めておくことにします。すなわち


となるのは、


のときです。少し整理すると


です。exp(−x²) の最大値は 1 なので、


と定めておくと、全実数で定義される関数となります。

　それでは a = 3.0, 2.5, 2.0 のグラフを描いてみます。

　

　2 価の関数です。 a の値が小さくなるにしたがって、２つの曲線は原点に向けて凹んでゆき、a = 2.0 では原点で交差します。 [2] に三角関数を掛けて


という関数をつくってみると ......

　

　このように 周期的な結節点 (crunode) をもったグラフ になります。
　 　

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　今回は三角関数の肩に √x を乗せて


という関数のグラフを描いてみます。

　

　(1/2)^√x の部分が関数を減衰させていきます。
　x が大きくなるにしたがって 波の谷の部分（極小値）が平らになってゆき、x 軸にべったりと張り付くようになるのが特徴です。次はこの関数に x をかけて


というグラフを描いてみます。

　

　x が掛かっているので、振幅はいったん大きくなりますが、すぐに (1/2)^√x の寄与のほうが強くなって減衰を始めます。極小値付近が平らになってゆくのは先程の関数と同じです。