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2015年05月19日

Excel で概周期関数のグラフを描きます

 sinx+sin2x.gif

 周期の異なる三角関数を重ね合わせると変なグラフになりますが、それでも 周期関数 であることに変わりはありません。

Excel で概周期関数のグラフを描きます


 でも変数に無理数が乗じられていると・・・・・・

 sinx+sin(√2x).gif

 こんなふうになってしまいます。y = sinax + sinbx においてb/aが無理数であるときに、こういうグラフになります。概周期関数 といいます。読んで字のごとく「まあだいたい周期的な関数ですよ」という意味です。「何だそれ?」と思われる読者もおられるかもしれませんが、本当にこう呼ぶのです。でもこれも専門書を探せば載っている関数なので、何か細工しなければブログを終われません。そこで2項目の変数自体を√で抑え込んでみます。

 sinx+sin√x.gif

 波の山と山、谷と谷を結ぶ線がこれまた波打っています。
 思いつきでやってみたのですが、自分でも結構自信作です。
 

a や b が有理数であれば必ず周期が存在します

 y = cos[x + f(x)] の f(x) に sinx を混ぜてみようと思います。まずは y = cos[x + sinx] のグラフです。

 cos[x+sinx].gif

 山は尖っていて、底は平坦になっていますね。
 次は y = cos[x + cosx + sinx] としてみます。

 cos[x+cosx+sinx].gif

 少し複雑な波形が現れました。
 sin の位相を変えて y = cos[x + cosx + sin(x/3)] とすると ......

 cos[x+cosx+sinxd3].gif

 何だかよくわからない波形になってしまいました。
 しかし、x の範囲を拡大してみると ......

 周期があります.gif

 ちゃんと周期があることを確認できますね。
 cos(ax) と sin(bx) のみで組み合わされた関数は、a や b が有理数である限りは、どれほど複雑に見えても必ず周期が存在しています。しかし、たとえば

y = cos[x + cosx + sin(√2x)]

のような無理数の混じった関数を作ると

 入れ子の概周期関数.gif

 このように周期は壊れてしまいます。
 

無理関数と三角関数の合成

 x に対し f を 1 回作用させた F1 グラフは次のようになります。

写像F1√x+sinx.gif

 無理関数 √x に沿って振動する関数ですね。無理関数と三角関数を単純に足し合わせるだけなら、三角関数の周期はそのまま保存されます。この関数を f でもう 1 回変換し、

    F2 = f [F1]

をつくると・・・・・・

写像F2√x+sinx.gif

 周期は消えてしまいました。その原因として考えられるのは、

  1. 無理関数の中に三角関数を入れたこと
  2. 三角関数の中に無理関数を入れたこと
  3. 1 と 2 を重ね合わせたこと

 この 3 つしかありません。実のところ、わざわざ調べなくても関数に慣れている人は直感的に 1 と 2 は単純な周期関数を描くことがわかります。どうしても気になる人はエクセルで調べてみてください。結論を言うと、原因は 3 にあります。「三角関数の重ね合わせ sinax + cosbx において、 a と b の比が有理数であれば一定周期が保障され、比が無理数であると周期が乱れて概周期関数になる」ということを説明しましたが、今回のように、より複雑な組合せによって周期が崩壊するケースも色々あります。最後に、 f を 3 回作用させた F3 のグラフをおまけとして載せておきます。

写像F3√x+sinx.gif
⇒ なんとなくの数学日記(面白いグラフをたくさん載せます)  
posted by Blog Cat at 04:27 | Comment(0) | TrackBack(0) | 三角関数
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