Excel VBA　数学実験室

　

　周期の異なる三角関数を重ね合わせると変なグラフになりますが、それでも 周期関数 であることに変わりはありません。

Excel で概周期関数のグラフを描きます

　でも変数に無理数が乗じられていると・・・・・・

　

　こんなふうになってしまいます。y = sinax + sinbx においてb/aが無理数であるときに、こういうグラフになります。概周期関数 といいます。読んで字のごとく「まあだいたい周期的な関数ですよ」という意味です。「何だそれ？」と思われる読者もおられるかもしれませんが、本当にこう呼ぶのです。でもこれも専門書を探せば載っている関数なので、何か細工しなければブログを終われません。そこで２項目の変数自体を√で抑え込んでみます。

　

　波の山と山、谷と谷を結ぶ線がこれまた波打っています。
　思いつきでやってみたのですが、自分でも結構自信作です。
　

a や b が有理数であれば必ず周期が存在します

　y = cos[x + f(x)] の f(x) に sinx を混ぜてみようと思います。まずは y = cos[x + sinx] のグラフです。

　

　山は尖っていて、底は平坦になっていますね。
　次は y = cos[x + cosx + sinx] としてみます。

　

　少し複雑な波形が現れました。
　sin の位相を変えて y = cos[x + cosx + sin(x/3)] とすると ......

　

　何だかよくわからない波形になってしまいました。
　しかし、x の範囲を拡大してみると ......

　

　ちゃんと周期があることを確認できますね。
　cos(ax) と sin(bx) のみで組み合わされた関数は、a や b が有理数である限りは、どれほど複雑に見えても必ず周期が存在しています。しかし、たとえば


のような無理数の混じった関数を作ると

　

　このように周期は壊れてしまいます。
　

無理関数と三角関数の合成

　x に対し f を 1 回作用させた F¹ グラフは次のようになります。



　無理関数 √x に沿って振動する関数ですね。無理関数と三角関数を単純に足し合わせるだけなら、三角関数の周期はそのまま保存されます。この関数を f でもう 1 回変換し、

　　　 F² = f [F¹]

をつくると・・・・・・



　周期は消えてしまいました。その原因として考えられるのは、

　　1. 無理関数の中に三角関数を入れたこと
　　2. 三角関数の中に無理関数を入れたこと
　　3. 1 と 2 を重ね合わせたこと

　この 3 つしかありません。実のところ、わざわざ調べなくても関数に慣れている人は直感的に 1 と 2 は単純な周期関数を描くことがわかります。どうしても気になる人はエクセルで調べてみてください。結論を言うと、原因は 3 にあります。「三角関数の重ね合わせ sinax + cosbx において、 a と b の比が有理数であれば一定周期が保障され、比が無理数であると周期が乱れて概周期関数になる」ということを説明しましたが、今回のように、より複雑な組合せによって周期が崩壊するケースも色々あります。最後に、 f を 3 回作用させた F³ のグラフをおまけとして載せておきます。

面白いグラフをたくさん載せます

　久しぶりに「フーリエ変換」の本をめくっていたら、概周期関数が載っていました。助かりました。今回はそれほど試行錯誤しないですみました。高校生の読者の方には少し内容が難しくなってくるかもしれませんが、肩肘張らずに「こういうグラフ、面白いなあ」と気軽に眺めてくださいね。