Excel VBA　数学実験室

　年明けは思いもかけず美味しい物をいただく機会に恵まれましたよ。小春ちゃんのお家ではアンパンを、小夜子さんのとこではロイズのチョコレートをご馳走になりました。ちょー美味しかったですねー。でもこのまえ職場（あとりえこばと）でお昼ごはん（カレーパン）を食べていたら、涼音さんとマリちゃんに「最近ぽっちゃりしてる」なんて言われてしまいました！　失礼しちゃいますね！　こばとはちっとも太ってません！　それを証明するために、今晩、体重を量ってみようと思います。でも今日は忙しいから明日にするかもしれません …… もしかすると明後日かも …… 。そのうち量りますよ。本当ですよ？　別に体重の話なんてどうだっていいんです。数学しましょう。

こばとの数学基礎講座 18　常用対数を使って大きな数の桁数を調べます

　底を 10 とする対数のことを 常用対数（common logarithm） とよびます：


　常用対数は指数表示された巨大数の桁を求める問題でよく用いられます。私たちは 10 進数 に馴染んでいるので常用対数は感覚的にわかりやすいと思います。たとえば x = 10, 100, 1000 に対して

　　　　y = log₁₀10 = 1
　　　　y = log₁₀100 = 2
　　　　y = log₁₀1000 = 3

ですね。 [0, 1000] の範囲でグラフを書いてみましょう：

　

　y = log₁₀x はとても緩慢な関数です。
　さらに大きな x に対してもなかなか値を伸ばしません。


　x が１億（10 ⁸）でも y はたったの 8 です！　上のグラフでは縦軸のスケールを大きめにとってありますが、もし縦横同じスケールの目盛で描いたとしたら、x 軸にべったりと張り付いた直線のようなグラフになってしまいます。

　常用対数を用いると 10 以外の数を底とする指数で表された数の桁を求めることができます（つまりおおよそどのくらいの数なのか概算できるということです）。たとえば


という巨大な数がいきなり目の前に現れたとき、それが十進法で具体的にどのように表されるかということは分かりませんが、桁数だけは求めることができます。


とおいて、10 を底とする対数をとると、


となります。つまり


となり、その桁数が 176 であることがわかります。

桁数は指数 +1 となることに注意してくださいね。たとえば


となります。

底の変換公式を使って、自然対数 ⇒ 常用対数の変換式も載せておきます：


2 〜 9 までの常用対数は以下のようになります：


　別に覚える必要はありませんが、ざっと眺めて常用対数値の感覚を掴んでおいてください。