アフィリエイト広告を利用しています

2016年01月17日

常用対数を使って大きな数の桁数を調べます

 年明けは思いもかけず美味しい物をいただく機会に恵まれましたよ。小春ちゃんのお家ではアンパンを、小夜子さんのとこではロイズのチョコレートをご馳走になりました。ちょー美味しかったですねー。でもこのまえ職場(あとりえこばと)でお昼ごはん(カレーパン)を食べていたら、涼音さんとマリちゃんに「最近ぽっちゃりしてる」なんて言われてしまいました! 失礼しちゃいますね! こばとはちっとも太ってません! それを証明するために、今晩、体重を量ってみようと思います。でも今日は忙しいから明日にするかもしれません …… もしかすると明後日かも …… 。そのうち量りますよ。本当ですよ? 別に体重の話なんてどうだっていいんです。数学しましょう。

こばとの数学基礎講座 18 常用対数を使って大きな数の桁数を調べます


 底を 10 とする対数のことを 常用対数(common logarithm) とよびます:

y = log10x

 常用対数は指数表示された巨大数の桁を求める問題でよく用いられます。私たちは 10 進数 に馴染んでいるので常用対数は感覚的にわかりやすいと思います。たとえば x = 10, 100, 1000 に対して

    y = log1010 = 1
    y = log10100 = 2
    y = log101000 = 3

ですね。 [0, 1000] の範囲でグラフを書いてみましょう:

 常用対数.gif

 y = log10x はとても緩慢な関数です。
 さらに大きな x に対してもなかなか値を伸ばしません。

x = 10 4 y = 4
x = 10 6 y = 6
x = 10 8 y = 8

 x が1億(10 8)でも y はたったの 8 です! 上のグラフでは縦軸のスケールを大きめにとってありますが、もし縦横同じスケールの目盛で描いたとしたら、x 軸にべったりと張り付いた直線のようなグラフになってしまいます。

 常用対数を用いると 10 以外の数を底とする指数で表された数の桁を求めることができます(つまりおおよそどのくらいの数なのか概算できるということです)。たとえば

2 583

という巨大な数がいきなり目の前に現れたとき、それが十進法で具体的にどのように表されるかということは分かりませんが、桁数だけは求めることができます。

10 x = 2 583

とおいて、10 を底とする対数をとると、

x = 583 × log102
 = 583 × 0.30219
 = 175.499907

となります。つまり

2 583 = 10 175.499907

となり、その桁数が 176 であることがわかります。

桁数は指数 +1 となることに注意してくださいね。たとえば

10 0 = 1  : 桁数 1
10 1 = 10  : 桁数 2
10 2 = 100 : 桁数 3

となります。

底の変換公式を使って、自然対数 ⇒ 常用対数の変換式も載せておきます:

log10x = logx / log10 = 0.434294 logx

2 〜 9 までの常用対数は以下のようになります:

log102 = 0.301030
log103 = 0.477121
log104 = 0.602060
log105 = 0.698970
log106 = 0.778151
log107 = 0.845098
log108 = 0.903090
log109 = 0.954243

 別に覚える必要はありませんが、ざっと眺めて常用対数値の感覚を掴んでおいてください。
   
この記事へのコメント
コメントを書く

お名前:

メールアドレス:


ホームページアドレス:

コメント:

※ブログオーナーが承認したコメントのみ表示されます。

この記事へのトラックバックURL
https://fanblogs.jp/tb/4248718
※ブログオーナーが承認したトラックバックのみ表示されます。

この記事へのトラックバック
検索
Excel VBA 数学教室
数学問題集(解答付き)
下剋上算数
ベクトル解析
サッカーマティクス
Excelで学ぶ統計解析
和算的思考力
学び直し
整数論の理論と演習
大人が手こずる算数
東大生の知恵袋
フーリエ変換
インド式秒算術
Excelで学ぶ微分積分
Excel 数学シミュレーション
オイラーの贈物


ファン
最新記事
カテゴリーアーカイブ