anuritoのあらすじ

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　前回の解説で私が作り出した数列を、もう一度、おさらいしておきましょう。

1
2
4、1
8
16、5
32
64、21
128
256、85
512
1024、341
2048
4096、1365
8192
16384、5461
・
・
・

　まずは、数字の分岐が一つ置きに発生している事に、皆さんも気付かれたのではないかと思います。

　恐らく、この法則性は、2の倍数の数列が、このまま、もっと巨大な数になっていっても続いていくのではないかと考えられます。

　もっとも、残念ながら、私のような無能な人間と汎用パソコンの限界では、とても、この法則性を「実際に確認する」という手段では、証明できそうにありません。よって、この「実際の確認」については、どこかの正式な数学者と計算専門のスーパーコンピューターにでも委ねたいと思います。

　代わりに、たったこれだけの小さな数字の配列からだけでも、早くも、次の法則性を発見する事ができます。
　分岐する事によって、新たに出現した数字（奇数）を、順に並べてみましょう。


1、5、21、85、341、1365、5461・・・

　実は、これらも、何の規則性もない数字の羅列などではなくて、きちんとしたルールに従って、数字が並んでいるのであります。

1を4倍して+1が、5
5を4倍して+1が、21
21を4倍して+1が、85

　と言うように、はっきりした拡大のルールが、この数字（奇数）の配置には存在していたのです！

　ただし、それは、当たり前といえば、当たり前の話なのかも知れません。

　これらの奇数の分岐元である偶数も「4、16、64、256、1024、4096・・・」と言うふうに、4倍に増えていっています。そして、この分岐元の数字（偶数）を奇数に直すに当たって「-1」の処理を施していますので、これらの奇数に「+1」が加わるのも、必ずしも、おかしな事ではないのであります。

　このように、見方を変えて、1の方から数列を作り直してみれば、「整数n を1まで分解していく数列」では分からなかった様々な法則性が、はじめて、具体的な形になって、目に見えてくるのです。

　ここで、鋭い人でしたら、もう気付いたのではないかと思います。

　前回の解説で、私は、まず、2の倍数の数列をコラッツ予想の確定数字にと認定いたしました。でも、これは、ただの一直線の数列でもないのです。

　終着点の数字である1と2がある以上は、この2の倍数の数列には、コラッツ予想の確定数字が全て繋がっていなくてはいけません。そして、「コラッツ予想（その10）」で説明しましたが、コラッツの数式の数列は、二股に分岐する形で増えていくものなのです。

　つまり、この2の倍数の数列には、確実に、数字の分岐点が存在する事になる訳です。

　理屈を並べ立てているよりは、実際に計算してみた方が手っ取り早いでしょう。2の倍数の数列には、こんな風に、分岐した数字がくっついていく事になります。

1
2
4、1
8
16、5
32
64、21
128
256、85
512
1024、341
2048
4096、1365
8192
16384、5461
・
・
・

　どの数字に分岐があるかの見分け方も、さほど難しいものではありません。

　要するに、コラッツの奇数の数式の逆を試してみればいいのです。「奇数n ×3+1」の反対、すなわち「（偶数n -1）割る3」の計算式にかけてみるのです。これで、分岐のある偶数n ならば、きちんと整数の形に割り切れますが、分岐のない偶数n の場合は、ぴったりとした整数には割り切れず、つまりは、その数字には分岐がない事が分かるのです。

　そして、この段階で、この数字配列における、さらなる法則性に気が付いた人もいたかも知れませんが、しかし、それについては、ひとまず、次回の解説に譲る事にしましょう。

　さて、現在、私たちは、コラッツの数式を、1から順番にさかのぼって、分析している訳ですが、ひとまず、「4」まで辿り着く事ができました。「4」の先は2方向に分かれており、片方は8（偶数）、もう片方（奇数）は1となっています。

　そもそも、数字「1」が出てきた時点で、すでに話がこんがらがり出しているのですが、ここはひとまず、「8」の方に目を向けて、解析を続けていく事にしましょう。

「8」は、「偶数8 割る2＝4」によって導き出された数字でした。しかし、振り返ってみますと、これまでの数字だって、
「偶数4 割る2＝2」
「偶数2 割る2＝1」
　と、コラッツの偶数の数式を逆算して、見つけ出した数字だったのです。

　でしたら、このまま、偶数の数式ばかりを逆算してゆき、その先にある数字もどんどん繋げてしまいましょう。

1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384・・・

　もはや、コラッツ予想とも関係なく、ただ、2の倍数を次々に倍にしていっただけのようにも見えますが、これはこれで、コラッツの計算の数列としては、成立しているのであります。

　そして、数字が無限である以上、この数列は、永遠に、莫大な数になっても、どこまでも続いていく事になるのでしょう。それだけではなく、この数列に並んだ全ての数字が、その時点で、コラッツ予想の確定数字にも該当した事になるのです。

　過去のコラッツ予想への挑戦者たちは、まず、任意の整数の方を出発点にして、その整数が1まで分解できるかどうかを一つ一つ調べてきましたが、私のやり方では、1から出発して、そこへと辿り着く整数をコラッツ予想の確定数字にと判定していったのでした。

　前回の私の解説で、
「コラッツの計算式の数列の最後部は、絶対に、4、2、1、になる」事が確定しました。

　次に「4」を考えてみる事にしましょう。
　実は、「4」で、はじめて、偶数と奇数の二つの計算式が活用される事になります。「偶数8 割る2」でも4になりますし、「奇数1 ×3+1」でも4になるからです。どちらの計算式からでも、「4」という答えは得られるのです。

　ここで、「偶数の計算式と奇数の計算式のどちらの計算式からでも得られる数字がある」という事が判明しました。そして、同時に「一つの数字は、最多でも二つの計算式からしか得る事はできない」という定義も確定した事になります。

　なぜなら、コラッツの計算で使って良い数式は二つしかないからです。それぞれ（偶数と奇数）の数式は、当てはめる n の値が変われば、その答え（解）も必ず別の数字になります。ならば、同じ数字の答えが得られる可能性は、偶数の計算式と奇数の計算式の答えが一致した場合しかない、という理屈になるのであります。

　つまり、これまでは、複雑な進化系統樹のようにも見えたコラッツの数式のグラフですが、実際には、よおく確認しますと、その分岐は常に二股の分岐しか無かったのであります。三方向にすら割れる事はありません。もう、これは、数式の仕組み上の絶対的なルールなのです。

　決して難しい事は言ってはいませんし、むしろ、当たり前すぎるような話にも聞こえるかも知れませんが、コラッツの数式の特性を考えるにあたっては、この基礎的な発想を素通りしてはいけません。
　と言いますのも、この単純なルールの上に、コラッツの数式のより高次な法則性とかパターンなどが構築されていく事になるからです。

　コラッツの数式を実際に自分で計算してみて、恐らく、数学のシロウトの方でも、すぐに気が付いた点があったと思います。それは、
「どの整数の計算でも、最後の1になる手前は、いずれも同じ過程を経ている」という事です。
　あらためて、3と7と15の計算経路を並べてみましょう。

「3」3、10、5、16、8、4、2、1
「7」7、22、11、34、17、52、26、13、40、20、10、5、16、8、4、2、1
「15」15、46、23、70、35、106、53、160、80、40、20、10、5、16、8、4、2、1

　とまあ、10以降の数字は完全に一致しているのであります。7と15は、40の時点で、もう重なっています。

　でも、これは、別にぜんぜん不思議な話でもないのです。
　そもそも、コラッツの計算式で、答えが1になる為には、同じ計算をするしかないからなのであります。

　具体的に言っちゃいますと、
「答えが1になる計算式は「偶数n 割る2」の n に「2」を当てはめたものしかない」のです。
　他のいかなる整数を n に当てはめてみても、絶対に1にはなりません。これは、確定した明白な事実なのです。

　では、奇数の計算式「奇数n ×3+1」に何らかの整数を当てはめてみた場合、答えが1になるかと言うと、やはり、こちらも絶対に1になる事はありません。×も+も、数字を大きくするだけなので、1になるはずがないのです。

　コラッツ予想で使用できる数式は、この二つしかありません。だったら、必然的に、
「答えが1になる計算式は「2割る2」しかない」と言う結論が導き出される訳です。


　続いて、「答えが2になる」計算式を考えてみましょう。

　実は、こちらも「偶数n 割る2」の n に「4」を当てはめたものしか存在しないのであります。他のどんな偶数も、この計算式によって2にはならないのです。

　そして、「奇数n ×3+1」の数式からも、2という答えを作る事はできません。最小の（整数の）奇数は1ですので、1をこの計算式に当てはめたのでは、1以上の数にしかならないからです。1が無理なら、他の大きな数字だって、もう絶対に1になるはずがないのであります。


　なんだか、ものすごく当たり前のことを書いているように見えるかも知れませんが、この事実は、コラッツの数式を考える上で、とても重要なポイントです。

　さて、生物の進化系統樹が不確実な偶然によって構築されているのと同様に、（これまでに提示されてきた）コラッツの数式のグラフも、数字がただ不確実に羅列しているだけのようにも見えました。

　しかし、そもそもが、こんな進化系統樹のような形のグラフを書いてしまうのは、「コラッツの数式で計算した整数は、最後は1になる」という命題を出発点にしていたからだったとも言えます。
　あるいは、見方を変えれば、コラッツの数式は、全く違う形のグラフにも書き直せるのではないのでしょうか。

　そこで、私は、逆を考えてみる事にしました。
「コラッツの数式で計算した整数は、全て、最後は1になる」
　という事は、言い換えれば、
「コラッツの数式を経由する事によって、全ての整数は繋がっている」
　という意味にもなります。つまり、
「コラッツの数式をグラフにした時、そのグラフ内に、全ての整数を組み込む事ができる」のであれば、
　それは、
「コラッツの数式で計算した整数は、全て、最後は1になる」
　の証明にもなるはずなのであります。これこそは、まさに、コラッツ予想の解決です。

　残念ながら、現時点の進化系統樹のようなグラフでは、とても、その中に全ての整数が組み込まれているかどうかは確認できません。だからこそ、新しい形のグラフが必要となるのです。

　最近、温故知新と言うか、昔の怪奇小説やSF小説ばかりを読んでいます。

　こないだ読んだのが、コナン・ドイルの「マラコット海淵」（1929年・別の邦題「マラコット深海」）。

　この本は、実は、小学生の時も読んだ事があり、シャーロック・ホームズや「ロストワールド」の印象しかなかったドイルが、こんなSFも書いていた事にひどく感心した記憶があります。

　まあ、SFのアイディアとしては、ウェルズの短編「深海潜航」（1896年）の方が、発表した年も奇想天外さも上のような感じもするのですが、代わりに、「マラコット海淵」では、「沈没大陸の古代文明人が、海底でいまだに生き続けている」と言う着想が採用されています。もしかすると、同種のネタとしては、「マラコット海淵」こそが元祖だったのではないのでしょうか。

　だとすれば、「マラコット海淵」が無ければ、「海のトリトン」も「海底人8823」も生まれていなかった事になります！

　それどころか、外国のB級怪獣映画としてチト有名な「アトランティス7つの海底都市」（1978年）なんて、細かい物語の作りまで「マラコット海淵」に似ていて、精神内を映像にして投影する装置まで出てきます。

　もっとビックリしたのが、東宝の特撮映画「海底軍艦」（1963年）でして、「海底軍艦」の敵キャラ・ムウ帝国の描写は、かなりの部分が「マラコット海淵」と一致しています。海底国の守護者の名前がマンダと言う点も同じなのであります。

　そもそも、映画の「海底軍艦」は、押川春浪氏の原作小説（1900年「海島冐險奇譚 海底軍艦」）のストーリー面はほぼ無視した内容でしたし、むしろ、「海底軍艦 対 マラコット海淵」と呼んだ方が良い作品だったのかも知れません。

　コラッツ予想に初めて触れた方とかは、私のここまでの説明を読んでみて、なんだか、コラッツの数式の法則性やパターンが掴めてきたようにも感じられたかも知れません。
　確かに、ここまでの小さな数字ですと、分岐の仕方も単調であり、意外と簡単に解けそうなルールで、それぞれの数字が配置されていそうにも思えてしまいます。

　ところが、（前回も少し触れましたが）次の数字「27」で、コラッツの数式は、いきなり、あらぬ方向に進んでしまうのです。
　この「27」なのですが、「1」まで分解する為には、実に111回もの計算を必要とするのであります。

　しかも、以降の数字の全てが、こんな膨大な計算数を必要としている訳なのでもなく、続く「28、29、30」は再び20回以内の計算に戻ります。「31」は、また3ケタの計算数になりますが、そのあとの「32」から「40」までの数字は、またまた少ない計算数で済み、中には、1ケタの計算で終わってしまう数字（32や40）も混ざっています。

　ならば、飛び飛びで巨大な3ケタ計算の数字がポツンポツンと出現するのかと思いきや、必ずしもそうとも言い切れず、「54」と「55」は2つ続けて3ケタ計算ですし、「71」と「73」は、間に数字一つ（72）だけを挟んで、どちらも3ケタ計算です。「107」から「110」までは、3ケタ計算が4つも連続で並びます。

　このように、コラッツの数式における数字の配置には、やはり、単純な絶対的パターンが存在していないのであります。少なくとも、現段階では、そのように見えます。
　沢山の優れた数学者たちが挑戦しているのにも関わらず、いまだにコラッツ予想が証明されていないと言われるのも、決して伊達ではないのです。

　コラッツの数式のグラフを、実際に自分で書いてみながら、読み解いていく事にしましょう。

　このグラフ内における数字の配列は、要するに、コラッツの数式に当てはめた数字がどんどん変わっていく順番を示しています。
　私は、すでに、「コラッツ予想（その2）」で、「3」の数字をコラッツの数式で計算してみました。この計算の結果を、そのまま並べてみると、こんな感じになります。

3、10、5、16、8、4、2、1

　これで、まずは一本の数列が完成した事になります。
　お分かりのように、「3」を計算した事で、途中にある「10、5、16、8、4、2」の計算も済んでしまいました。

　さて、小さな数字から片っ端から計算していくとなると、次は「6」の計算となるのですが、「6」は「3」の数列の一つ前にくっつくだけなので、特に気にする事もないでしょう。
　続く「7」が、やや長めの数列となります。

7、22、11、34、17、52、26、13、40、20、10、5、16、8、4、2、1

　しかし、皆さんもお気付きになったかも知れませんが、実は、この「7」の数列ですけど、「10」より下は、「3」の数列とピッタリ重なっているのであります。

　だから、グラフに直しますと、「3」と「7」の数列は繋ぎ合わせる事が可能です。そうやって、結合してみせたのが、次の配列です。

7
22
11
34
17
52
26
13
40
20
10、3、6
5
16
8
4
2
1

　すでに登場している数は計算済みと見なして飛ばしていき、次の新しい数字「9」は「7」の少し先、「12」も「6」の一つ前にあります。「15」も「40」のやや先の方にあるので、これも追加しちゃいましょう。

9
28
14
7
22
11
34
17
52
26
13
40、80、160、53、106、35、70、23、46、15
20
10、3、6、12
5
16
8
4
2
1

　こうして、最初は一本線だったグラフも、計算が終わった数字を追加する度に、じょじょに分岐しだしました。
　すでに登場している数は飛ばしながら、このまま、新しい数をどんどん付け加えていきましょう。

18
9
28
14
7
22、44、88、29、58、19、38、76、25
11、22
34
17
52
26
13
40、80、160、53、106、35、70、23、46、15
20
10、3、6、12、24
5
16、32、64、21
8
4
2
1

　これで、「26」までの数字が出揃った事になりました。分岐もかなり増えてきたようです。

　次の「27」は、「46」のずっと先の方に（「15」とは枝分かれして）存在しているのですが、この「27」がちょっと厄介な存在なので、ここには書き足しません。

　とにかく、コラッツの数式をグラフ化すると、こんな感じで、数が増えるほど分岐していき、やがては、例の進化系統樹のような見た目へと仕上がっていくのです。

　コラッツ予想の証明方法で、「完全に証明してみせた過程を提示する」というのは、つまりは、「全ての整数をコラッツの数式にかけてみて、1になるのを確認する」という事です。

　もちろん、数（整数）は無限に存在するのですから、このような事は永遠に実現しません。コンピューターを使って、2の68乗までの数が、コラッツの数式できちんと1になる事が確認されているらしいのですが、それでもなお、コラッツ予想が証明された事にはなっていないのです。

　続いて「コラッツ予想を立証する数式」ですが、こちらも、まだ誰も発見してはいないようです。コラッツ予想の解説ページを見ると、ベテランの数学者が過去に作り上げた各種の数式を見かけますが、それらはコラッツの数式の特徴を数式化したものであって、「最後が1になる事」の証明式ではないらしいです。私の無知ぶりが露呈してしまいますので、この辺に関しては、あまり深くは触れません。

　本当の証明にはならないかも知れませんが、コラッツの数式における数字どうしの関連性（つながり）をグラフにしてみるという試みもあります。こちらも、コラッツ予想の解説ページを見ると、いろいろな形のグラフを目にする事ができます。
　結論は一つのはずなのに、コラッツの数式の計算結果は、さまざまなバリエーションのグラフに直して、書き出せるらしいのです！

　これなんかも、もっともシンプルな形のグラフの一つです。数の分岐の仕方が、まるで生物の進化系統樹のようです。過去に提示されてきたコラッツの数式のグラフは、ほとんどが、こんな形に描かれています。

　大自然の摂理（進化系統樹）とソックリだなんて、なんだか、数字という概念も自然の一部である事を、あらためて実感させてくれるのです。