ていへんかけるたかさわるに

ノートに書いた証明を LaTeX で書き写す.
圏 $\mathscr{C}$ の骨格 $\mathrm{sk}(\mathscr{C})$ が圏になることの証明.
今日まとめたのは以下のような内容.

$\mathscr{C}$ の対象の全体を $O_0 = \mathrm{Ob}(\mathscr{C})$, 射の全体を $A_0 = \mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ とする.
2 つの対象 $X, Y \in \mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ が同型であるとき,
\begin{equation*}
X \simeq_\mathscr{C} Y \quad\textrm{ in }\,\, \mathscr{C}
\end{equation*}
と表わす. このとき, 関係 $\simeq_\mathscr{C}$ は $O_0 = \mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ 上の同値関係となる.
\begin{equation*}
\hat{O}_{0} = O_0\,\big/\,\simeq_\mathscr{C}
\end{equation*}
とおく.

2 つの射, $(f : X \to Y), (f' : X' \to Y') \in \mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ が同型であるとき, つまり 2 つの $\mathscr{C}$ の同型射 $h : X \to X'$, $k : Y \to Y'$ が存在して図式
\begin{equation*}
\xymatrix@=48pt {
X \ar[d]_{f} \ar[r]^{h} & X' \ar[d]^{f'} \\
Y \ar[r]_{k} & Y'
}
\end{equation*}
が可換となるとき,
\begin{equation*}
f \simeq_{\mathrm{Ar}(\mathscr{C})} f' \quad\mathrm{ in }\,\, \mathrm{Ar}(\mathscr{C})
\end{equation*}
と表わす. このとき, 関係 $\simeq_{\mathrm{Ar}(\mathscr{C})}$ は $A_0 = \mathrm{Ar}(\mathscr{C})$ 上の同値関係となる.
\begin{equation*}
\hat{A}_{0} = A_0\,\big/\,\simeq_{\mathrm{Ar}(\mathscr{C})}
\end{equation*}
とおく.

商空間 $\hat{O}_{0}$ の各同値類 $o \in \hat{O}_{0}$ から代表元 $X_o$ を 1 個ずつ選んで族
\begin{equation*}
O = \{\, X_o \mid o \in \hat{O}_{0} \,\}
\end{equation*}
を作る.

商空間 $\hat{A}_{0}$ から同値類 $\alpha \in \hat{A}_{0}$ をとる. このとき, $\alpha$ の代表元となる射 $f_{\alpha}$ を次のように選ぶことができる.
\begin{equation*}
f_{\alpha} = \begin{cases}
\mathrm{id}_{X} : X \to X & (\text{ある } X \in O \text{ が存在して } \mathrm{id}_{X} \in \alpha \text{ となるとき}) \\
f : X \to Y & (\text{上記以外; ある } X, Y \in O \text{ が存在して, ある } (f : X \to Y) \in \alpha \text{ がとれる })
\end{cases}
\end{equation*}
これにより $\hat{A}_{0}$ の各同値類から 1 つずつ代表元を選んだ集まり
\begin{equation*}
A = \{\, f_{\alpha} \mid \alpha \in \hat{A}_{0} \,\}
\end{equation*}
が構成される.

この $f_{\alpha}$ を定める箇所に相当ひっかかったこともあり, 記述が複雑になっている. 何度も同じ議論をしているし, 直接必要の無いことまで長々と議論して証明していたりしている. 全体的に文章が非常に長くてわかりづらい.

とりあえず, 切るところはどんどん切って整理することはできた.
続きは明日.

7 時半起床.
頓服無しで起き上がれた.

頭が半分眠っていてぼんやりとしているが, 数学をやる.
ノートに書いた練習問題の証明を, 内容を確かめながら LaTeX で書いていく. なかなか集中できないが 1 時間少し続けていたら漸く考えがまとまるようになってきた.
午前中いっぱいやってかなり消耗した.

昼食はベーコンエッグ, チーズとトマトとレタスのサラダ.

午後は買い出しに出かける.
スーパーでいろいろ買う. キャベツ, トマト, 茄子, 玉葱, ブロッコリー, レタス, 人参, 鶏肉, 鮭切り身, ベーコン, 納豆, 豆腐, 卵, 漬け物, あといろいろ.
気付いたら外が凄い雨になっている. 傘は持っていたが, 手提げと肩掛け 2 つの買い物バッグを抱えて帰るのでしばらくスーパーの中で雨宿りをした.
鮮魚コーナーをぶらぶらする.
鯵の干物とかは今日は買っていないが, 冷凍してあるのがまだ二尾くらいあるからいいか.
釜揚げシラスは好きだけどちょっと高いのでまた今度にする.
鰤の切り身が 30% 引きで売っているのに気が付いた. 買った.

帰宅してシャワーを浴びる.
どうも気分が低調なので少し横になって休む.

夕食は鰤の塩焼きと納豆と冷奴とご飯.
食べていたらだんだん体調が悪くなってきた. あまり良くない.

後片付けをしてすぐに休む.

10 時起床.
頓服無しで起きたかったが, 鬱が苦しく頓服を飲んで起き上がった.

数学をやる.
Mac を修理に出している間ずっと, 紙のノートに証明を書いてきた.
それがやっと終わって証明が完成した, と思う. 多分.
ずっと梅雨の時期の体調不良が続いている割には, ここ数日で一気に進んでいたことがわかった.

昼食はキャベツときのこのペペロンチーノ.

午後はノートに書き終えた証明を LaTeX で書いていく.

ノートの内容を確認しながら頭から順に書いていったら, くどい記述や意味が重複する記述が何度も出てくる.

たとえば「式 (5) は図式 (3) が可換図式であることを示す」という記述があったとする. そのしばらく先に図式 (3) の可換性を使う箇所が出てくる. そこでの記述が「式 (5) によって可換であることが示された図式 (3) は」という風にわざわざその意味を強調する文章になっていたり.
ある箇所で導いた結果を別の箇所で使う際に, 再び前と同じやり方で導いていたり.
ある小さな命題を示すのに二通り以上のやり方 (集合の元を使って求める式を導く方法, 図式の可換性を使う方法, 両者を混ぜ合わせた方法, とか) で示していたり.

これは仕方が無い.
証明を考えている中で, 自分が以前導いた結果や, 式や図式を引用する意味がわからなくなり, 納得するために再びその結果を導いてみたり, 過剰にくどい文章で引用を行ったりしないと安心できなかった.
頭がうまく回らなくて論理的に考えることが難しかったりするときには, 特に延々と以前と同じ思考を繰り返したり別のやり方に取り組んだりしてしまうのだ.
それで何度も何度も行ったり来たりしたから, くどくて長くていくつもの重複を含む内容になる.

そういう全体を見返すと何か偏執的というか, 病んだ感じというか. 同じような記述が何処までも何の躊躇いも無く繰り返し書かれたノートは正直なところ, ちょっと気持ちが悪かった.

これは, ある回復の表われでもあるのだろう.

体調不良で動けず. 寝込む.
思い出したくない過去の記憶に悩まされる. 良くない.
精神的に追い込まれるとその場凌ぎの嘘を付き, 嘘に嘘を重ね, 姑息な保身を考え, 最終的に逃げ出して周りが後始末に負われる, という過去のいくつもの失態. 自業自得だが非常に苦しい. 縮こまって丸まって石みたいになっていた.
起き上がろうと思って午前, 午後と 2 度頓服を飲んだのだが効かず.

夕方遅くなってなぜか起き上がれた.
シャワーを浴びたら気分がやや上向いた.

食事をとる. 納豆と卵かけご飯, 冷やしトマト. 喉が渇いていたのでトマトを 3 個食べた.

数学をやる. 昨日の続き.
寝込んでいる間の, 頭が働いた少しの時間で考えたことをノートに書きとめる.
苦しいだ何だと言いながら, 最悪に近いときにもこんなことができる.
ゆっくりではあるが確かに心の体力が付いてきている.

それから休む.

10 時起床.
頓服の力を借りたとは言え, 午前中に起き上がることができた.

顔を洗って髭を剃る. しばらくできなかったことだが, 気持ちよくて朝の気分が上がる.

数学をやる. 気のせいか頭が割とよく働く.
このところ, 毎日 30 分程度の細切れの時間しか数学ができなかった. 論理的な思考がうまくできず, すぐに頭が疲れてしまうので, 式の変形を 1 段階進めるとか, うまく行かなかった部分を次はどうやるかの案をメモしたりとか.
そういった細切れの結果全体をまとめて証明の記述をかなり進めることができた.

10 時に起きるとこれだけのことができるのだ. 今後のヒントになるかも.

昼食はインスタントラーメンを作る. サッポロ一番塩ラーメンにキャベツと玉葱炒めを乗せる. インスタントラーメンはこればかりだ.

午後, 少し休んでからチラシ配りに出かける.

午前中の時間をうまく過ごせたことで元気一杯で出かけたが, 配っている最中に気分が沈んできた.
暑さにやられたのだろうか.
理由不明.

2 時間ちょっと粘って作業してみたが, 頭の中に重い灰色の靄が立ち込め, 体も一歩踏み出すこともしんどくなってきたので諦めて帰宅する.

帰宅してシャワーを浴びる. シャワーを浴びられるパワーは残っていて良かった.
そのあとすぐに休む.

朝から体調が良くない. 昨日の夕方からの沈鬱な気分が続いている.
いつものことだけれど, 自分の過去のこととか話すのは現在の体調ではかなり負担が大きい. でもそれを PSW さんと客観的に話し合うことででわかってくることもあるからなあ.
堪えられずに昼前になって頓服を飲んだ.

起きて昼食. 卵かけご飯.

午後はまた抑鬱感で寝込む.
夕方また頓服を飲む.

起きてシャワーを浴びて数学を少しやる.

頓服が効いている時間がなぜか短い. 気分がゆらゆらと沈んでいく.
夕食を諦めて休む.

とにかく休みたい.

10 時起床.
午後から認知療法に参加するので踏ん張って起きる.
支度をして家を出る. 不安と緊張が強くて素顔で歩くのが苦しかったので, 持ってきたマスクをする.

認知療法への行き帰りの電車の中で数学をやった.
電車の中の場合, 周囲からの逃避のような意識が働くのか結構集中しやすいのが不思議だ.

論理的に考えることが難しいのは相変わらずだが, 大体一日にちょっとした工夫というか思い付きがあるようだ.
そのおかげで証明が 1 行くらい進む.
30 〜 40 分やるとクタクタになってしまう.

認知療法では自分の鬱やトラウマに関する, 自分にとってやや重い話をいろいろした.
さらにそれについて話し合った.
時間は 30 分程度だったが精神的に消耗, かなり.

帰宅してから, チラシ配りに出かける.
認知療法で頭を使い過ぎたせいか, 体を動かしたい.

なんだか没頭してチラシを配ってしまう. 発散したかったんだろう.
非常に暑かったが風があるのが救いだった.

帰宅してシャワーを浴びる.
精神的に辛い. 認知療法のときに吐き出せたのは良かったが, どうしても気分の揺り戻しが来てしまう.
これは自分の鬱の症状の一つなのだが他の鬱病者はどうなのだろう.

そのまま休む.

眼が覚めたのは朝 5 時くらいだったが, 抑鬱感と疲労感が強い.
頓服を飲んだら眠ってしまった.

強い喉の渇きで再び眼が醒める. 午後 2 時過ぎ.
部屋の中が異常に暑くなっている. 喉の渇きがひどかったので水を飲んだ.
ふらふらする. 頭が痛い.
外気温が高くなっていた上に部屋の窓を閉め切っていた. 危ない状態になっていた.

冷房を付けて扇風機を回し, 横になって休む. 鬱もやや残っているが, ふらふらの状態と頭痛のほうが辛い.

頓服を飲んで 5 時過ぎに起きる.

数学を少しやる. 30 分程度だったがかなり集中できた.
今日みたいに, 深く集中した思考を行えるようになってきたのはとても良いことだ.

それからアルコール依存症の自助グループのミーティングに参加するために家を出た.
近所の教会の小さな一室でやっている.
これに参加すると気持ちが安らぐ.

自分が酒をやめられないのは意思が弱いからでも自己管理ができないからでもない.
アルコール依存症というれっきとした病気であって, 意思や自己管理でどうなるものでもないのだ.
最初に見学で参加したとき, そう言われて肩の荷が降りた.
のんびりした, 静かな集まりだった.

鬱の苦しみと対人恐怖から逃れるために朝起きて飲み, 仕事中に飲み, 食事をしながら飲み, 飲み疲れて眠っていた.
酒にまみれていた.
その時期のことは振り返ることができない. 記憶が閉ざされている.
思い出そうとすると心が激しく抵抗して, 恐怖と不安で動けなくなってしまう.
この症状は 2014 年の暮れから 3 年近く変わらない. 回復していない.

すべて自分の愚かさが招いたことだが, これからどうなっていくのだろう.

そういう状態のときに自助グループに参加した.
上に書いたような雰囲気のお蔭か, 酒に頼ることだけは現在まで止まっている.
数学と絵はその頃から自分を救ってくれているが, これらに少しずつ深く集中できるようになってきたのも, おそらく酒を飲まないで生きているからだと思う.

ただし明日以降どうなるのかはわからない. アルコール依存症は治らない.

鬱で動けず, 夕方まで寝込んでしまった.
先日診察のとき, 主治医に言われた「流れに任せる」という言葉を頼りにひたすら休んでいた.

午後になって徐々に体調が上向いてきた.
頓服を飲んで起きる.
シャワーを浴びて食事. 豚肉生姜焼きと玉葱, 納豆とご飯.
それから数学をやる. 集中して考えるのが難しく日々蝸牛のような歩みだが何とか毎日続けている. 自分でもけっこう粘り強く続いていると思う.

あとは日常生活のいろいろ (掃除・洗濯・自炊・買い物) がもう少し気楽にできるようになれば嬉しい.

修理から戻ってきた Mac Pro (early 2009) を動かしてみた.
これまで寝込んでばかりでできなかったからなあ.
今回交換したビデオカードは NVIDIA GeForce GT 120 (VRAM 512 MB, PCIe).
これまでいろいろと問題を起こしていたアプリケーション ── iTunes, Acrobat Reader, Preview, Finder ── など, 問題無く使えるようになっている.
もう少し複雑な処理をさせて確認したいが心のパワーが出ない.
また明日.