問題41 ギザの大ピラミッドがつくる影の面積 [高２★★☆☆☆]
図のように水平な地面の上に底面の１辺の長さが 2 a 、高さが b のピラミッド（四角錐） A - B C D E があり、ちょうど A B E 面が太陽に照らされているとします。地面から測った太陽の角度を θ とします。
(1) ピラミッドがつくる影の面積 S(θ) を求めてください。
また、 θ のとりうる範囲も明示してください。
(2) ギザにあるクフ王のピラミッドは、底面の１辺の長さが約 230 m、高さが約 140 m あります。冬至の日の正午における太陽高度を約 37°と考えて、ピラミッドのつくる影の面積を求めてください。計算には tan37°= 0.754 を用いて、得られた数値の小数点以下を四捨五入して解答してください。
[ヒント] 三角比の基本的な知識を問う問題です。
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解答41（断面図を描いてみます）
(1) 下図のように CD の中点 M をとって断面図を切り出します。
すると θ と a, b および影の高さ h との関係が
b = (a + h) tanθ
であることがわかるので
h = (b / tanθ) − a [*]
となります。影の底辺の長さは 2 a ですから、影の面積は
S = (2 a) h / 2 = a h = (a b / tanθ) − a2
となります。
次に θ の範囲を考えます。 0 ＜ θ は明らかですが上限もあります。影が存在するには h ＞ 0 となる必要があります（あまり太陽の高度が高いと影ができません）。そこで h = 0 となる角度を調べるために [*] の右辺を 0 とおいて
tanθ = b / a
となります。この式を満たす θ を θ = α とおけば、
0 ＜ θ ＜ α
が θ のとりうる範囲となります。
(2) (1) の結果に具体的な数値を入れて計算します。
a = 115, b = 140, θ = 37°ですから
S(37°) = (115・140) / tan37°− 1152 = 8127.8 = 8128 m2
が答えとなります！ さすがピラミッド、影も巨大ですねー！
[補足] ちなみに冬至のときの太陽の南中高度は
90° − 北緯 − 23.4°
によって計算できます。ギザの北緯は 30°ですから、
90° − 30° − 23.4° = 36.6°
が正確な南中高度となります。気になる人はこちらの値でも計算してみてください。
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