問題30 ２次元等差数列 [高２★★★☆☆]
図のように最初の行に初項 1, 公差 2 の等差数列を横に並べ、この数列の各項を初項とする公差 3 の等差数列を縦に並べます。
(1) 第 m 行 n 列の一般項 amn を求めてください。
(2) 第 1 行 1 列から第 k 行 l 列までにある全てのマス目の総和 Skl を求めてください。またその表式を用いて S33 と S55 を計算してください。
[ヒント] たとえば S33 は下図の赤い部分の総和を求めてくださいということです。
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解答30
(1) まず第 1 行の数列 a1n を等差数列の公式を使って求めます：a1n = 1 + 2 (n －1) = 2 n －1
この各項が縦に並ぶ公差 3 の等差数列の初項となるのですから、第 m 行 n 列を表す一般項は
amn = 2 n －1 + 3 (m －1) = 3 m + 2n － 4
となります。
(2) 2 重和をとる問題です。図を参照してください。
まず n 列に着目して縦方向に 1 ～ k 行まで和を取ります。
次にこの式を 1 から l 行まで和をとると総和が得られます。
上式に k = l = 3, k = l = 5 を代入して
S33 = 54, S55 = 275
となります。
