分子と分母がせめぎ合いながら振幅の均衡を保ちます
これはよく見る形の関数ですね。高校の教科書にも出てきます。 x → -1 + 0（ x = -1 に正方向から近づくと -∞ に、 x → -1 - 0（ x = -1 に負方向から近づくと +∞ に発散してしまいます。 x → ±∞ で 1 に収束していきます。「こんなありきたりなグラフを載せるなんて、このブログも堕ちたな」と思われないように、もちろん形を変えていきます。分子に sinx をかけると・・・・・・
グラフ全体が波打ちます。x → -1 で発散することには変わりありませんが、問題は振幅の変化です。分子 xsinx の x の部分は振幅を増加させるように関数にはたらきかけますが、分母の x + 1 の部分は逆に振幅を減少させようとします。そのせめぎ合いは見事に均衡を保っていて、グラフを見ても振幅の変化は微妙です。そこで -1 < x の範囲をもっと遠くまで描いて確認してみます。
やはりとても微妙なのですが、振幅はほんの少しずつ増加しながら 1 へと近づいて行きます。数式を変形して確認してみると、
において x → ∞ とすると y → sinx となるわけです。十分遠方では普通の sinx として振る舞うということです。これは x < -1 の場合も同様で、こちらの領域では振幅を少しずつ減少させながら 1 へと近づいていきます。しかしこれも探せばどこかに載っている関数ですので、もう少し変えてみましょう。分母の x のところを logx に変えてみます。
x = 1 / e で分母が 0 となるので、1 / e < x で関数を定義しています。今度は振幅の増大が顕著です。logx は x = 0 付近の勾配が急であり、少しずつ緩やかになっていきます（だから大きな数を扱う時に対数目盛を用いるのです）。つまり x と logx を比較したときに、立ち上がりは logx の効きが勝ち、あとの大部分は x が支配します。上のグラフでは、x = 1 / e からほんの少しの間だけではありますが、 logx はサインカーブを打ち消すような急勾配を形成しています。あとは x の増加とともに、どんどん振幅を増していきます。
⇒ なんとなくの数学日記（Excel 2013 が重たいです）
