対数関数の肩に対数関数
y = logx logx という関数を考えてみます。
底は e です。x > 1 で定義するので、全域で正の関数となります。
全体的に右肩上がりですが、極小値を１つもちます。実はこの極小値、手計算で比較的簡単に求めることができます。微積分が扱える人のために、計算過程をのせておきます。以前にも１度似たような計算をしましたが、関数の肩に何か別の関数がのっているときは、両辺の対数をとると微分の道筋が見えることが多いです。 y = logx logx の両辺の対数をとると、
となって比較的すっきりと見やすくなります。ここで両辺を x で微分すると、
y′= 0 とおいて極値をとる x を求めますが、y > 0 ですから y は取り払って構いません。計算してみると、
という綺麗な解が得られます。極値も
とシンプルな形になっています。
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