アフィリエイト広告を利用しています

2015年11月17日

f(x) = xexp(-x):Excel で関数の極大値の移動を調べます

【Excelショートカット豆知識】
 [Ctrl] + ↓ 入力済みセルと空白セルの境界まで移動
 [Ctrl] + ↑ 入力済みセルと空白セルの境界まで移動
 [Ctrl] + → 入力済みセルと空白セルの境界まで移動
 [Ctrl] + ← 入力済みセルと空白セルの境界まで移動

Excel で関数の極大値の移動を調べます


 数学Vを習い始めた頃に、

   f(x) = x exp(−x), g(x) = x2 exp(−x)

 というようなグラフを書く練習をした記憶があると思います。極値が求めやすいですし、形もシンプルで書きやすいですからね。受験を控えた高校 3 年生の人も今の時期(11月)であればもう簡単にグラフを描けると思いますが、一応確認のために微分して極値を求めてみましょう。

  f′(x) = (1−x) exp(−x) = 0 ⇒ x = 1
  極値は f(1) = 1 / exp(1) = 0.368
  f′(0) > 0, f′(∞) < 0 だから上に凸のグラフ

  g′(x) = x (x−2) exp(−x) = 0 ⇒ x = 0, 2
  極値は g(0) = 0, g(2) = 4 / exp(2) = 0.541
  g′(−∞) < 0, g′(0) > 0, g′(∞) < 0 だから 下矢印2 右矢印2 下矢印2 のグラフ

となります。Excel グラフで確認してみましょう。

xexp(-x)、x^2exp(-x).gif

 0 < x の範囲で2つのグラフはとてもよく似ていますが、g(x) のほうが極大値は大きく、また極大値をとる x の値も右にずれています。その理由はもちろん exp(−x) という単調減少関数に対して x よりも x2 のほうが値の減少を引き止める力が大きいからです。x の次数をさらに大きくして、

  h(x) = x3 exp(−x), i(x) = x5 exp(−x)

を比較してみましょう:

x^3exp(-x)、x^5exp(-x).gif

 0 < x の範囲で図示してあります。また、上下で縦軸のスケールが変わっていることに注意してください。i(x) の値が大きいので同じスケールで書くと画像が縦長になりすぎてしまいます。やはり極大値は右へ移動していきますね。最後におまけとして

  j(x) = x11 exp(−x)

のグラフを描いてみます:

x^11exp(-x).gif

 目盛の 6.E+06 という記号は 6.0×106 です。極大値は途轍もなく大きくなっています。しかしそれだけ大きな値をとっているのも関わらず、指数関数 exp(−x) の減少効果はさらに大きく、値を急速に引き下げて行きます( x = 44 で およそ 0.1 )。
   
検索
Excel VBA 数学教室
数学問題集(解答付き)
下剋上算数
ベクトル解析
サッカーマティクス
Excelで学ぶ統計解析
和算的思考力
学び直し
整数論の理論と演習
大人が手こずる算数
東大生の知恵袋
フーリエ変換
インド式秒算術
Excelで学ぶ微分積分
Excel 数学シミュレーション
オイラーの贈物


ファン
最新記事
カテゴリーアーカイブ