Excel VBA　数学実験室

【Excelショートカット豆知識】
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Excel で関数の極大値の移動を調べます

　数学�Vを習い始めた頃に、

　　　f(x) = x exp(−x),　g(x) = x² exp(−x)

　というようなグラフを書く練習をした記憶があると思います。極値が求めやすいですし、形もシンプルで書きやすいですからね。受験を控えた高校 3 年生の人も今の時期（11月）であればもう簡単にグラフを描けると思いますが、一応確認のために微分して極値を求めてみましょう。

　　f′(x) = (1−x) exp(−x) = 0　⇒　x = 1
　　極値は f(1) = 1 / exp(1) = 0.368
　　f′(0) > 0, f′(∞) < 0 だから上に凸のグラフ

　　g′(x) = x (x−2) exp(−x) = 0　⇒ x = 0, 2
　　極値は g(0) = 0, g(2) = 4 / exp(2) = 0.541
　　g′(−∞) < 0, g′(0) > 0, g′(∞) < 0 だから のグラフ

となります。Excel グラフで確認してみましょう。



　0 < x の範囲で２つのグラフはとてもよく似ていますが、g(x) のほうが極大値は大きく、また極大値をとる x の値も右にずれています。その理由はもちろん exp(−x) という単調減少関数に対して x よりも x² のほうが値の減少を引き止める力が大きいからです。x の次数をさらに大きくして、

　　h(x) = x³ exp(−x),　i(x) = x⁵ exp(−x)

を比較してみましょう：



　0 < x の範囲で図示してあります。また、上下で縦軸のスケールが変わっていることに注意してください。i(x) の値が大きいので同じスケールで書くと画像が縦長になりすぎてしまいます。やはり極大値は右へ移動していきますね。最後におまけとして

　　j(x) = x¹¹ exp(−x)

のグラフを描いてみます：



　目盛の 6.E+06 という記号は 6.0×10⁶ です。極大値は途轍もなく大きくなっています。しかしそれだけ大きな値をとっているのも関わらず、指数関数 exp(−x) の減少効果はさらに大きく、値を急速に引き下げて行きます（ x = 44 で およそ 0.1 ）。