Excel VBA　数学実験室

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原点から遠ざかるほど波の振幅が大きくなります

　今回は m をパラメータとして、


という関数を調べてみます。

　m = 1 であれば y = tanx ですね。
　m = 2 のときは sin2x = 2sinx cosx より


となります。m = 3 のときは ...... ３倍角の公式を使うと、よけいにややこしい式になるので、このままにしておきましょう。それではグラフです。

　　

　区間は −π/2 < x < π/2 に限定しています。 m = 1 のときは両端で y → ±∞ となりますが、m = 2 では ±2 という値をもちます。 m = 3 では再び両端で y → ±∞ となり、極大値と極小値が出現しています。m = 8 のグラフを描いてみると ......

　

　波の数が増えていますね。
　さらに大きく、m = 16 としてみましょう。



　さらに振動が激しくなりました。
　原点から遠ざかるほど波の振幅は大きくなっています。
　 　

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cosx + siny = 1 のグラフ

　今回は cosx + siny = 1 という方程式からスタートします。
　y について書き直すと逆三角関数 Arcsin を用いて


と表せます。Arcsinx は −1 ≦ x ≦ 1 で定義される関数なので


となりますが、−1 ≦ cosx ≦ 1 と合わせると 0 ≦ cosx ≦ 1 、すなわち


というように範囲の制限された関数となります。

　

　(x, y) = (0, 0) に頂点をもち、x = ±π/2 で最大値π をとります。
　 [1] に三角関数を掛けると、この狭い範囲内で振動する関数となります。
　いくつかの例をまとめて載せておきます。

　

　当ブログの内容に関して何かご意見などありましたら、各記事の下のほうにあるコメント欄から送信してください。特に計算間違いや誤字脱字などを御指摘くださると記事を修正しやすくなるので助かります。よろしくお願いします。
　 　

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対数関数に沿って少しずつ振幅を増加させる関数のグラフ

　以前に y = x^a/x という関数を扱いました。
　そのときのグラフを再掲しておきます。

　

　立ち上がりがのんびりで、一度大きく値を伸ばしたあとに、最終的には y = 1 に収束していく関数です。今回は y = x^3/x に三角関数を掛けて


という関数を作ってみました。

　

　立ち上がりがちょっと遅くて、１つ小さな山をつくったあとに急速に振幅を増加させますが、 x ≒ 6 あたりから減衰に転じています。

y = x^3/x cosx + 1/x

　1/x を加えて y = x^3/x cosx +1/x としてみます。

　

　1/x が原点で関数を + ∞ にします。
　全体的に減衰振動関数となっています。

y = x^3/x cosx + logx

　今度は logx を加えて y = x^3/x cosx + logx という関数をつくってみます。

　

　青い点線で y = logx のグラフを添えてあります。
　今度は原点で −∞ となります。 x^3/x の減衰率よりも logx の増加率がわずかに優って、全体的に少しずつ振幅を増加させていきます。振動の中心はほぼ logx に沿っています。
　 　

　今回のベースとなる方程式は


という双曲線です。双曲線は普通


で表されますが、この式で x と y を入れ替えると [1] が得られます。つまり [2] は y 軸に関して対称ですが、 [1] は x 軸に関して対称な双曲線となっています。 [1] のグラフは下図のようになります。

　

�@ 原点付近でカーブが緩やかになります

　双曲線の方程式に三角関数を組込んでみましょう。
　定数項の + 1 を cosx に置き換えて


という方程式を作ってみると次のようなグラフが得られます。

　

　|cosx| ≦ 1 ですから、概形にさほど大きな変化を与えませんが、原点付近ではカーブが緩やかになっています。 x と y が大きなところでは cosx の影響はほとんど無視できるので、 x² − y² + 1 = 0 のグラフと重なることになります（漸近線です）。

�A 蛇行が目につくようになります

　cos x の項を cos²x に変えて


という方程式に変えてみると ......

　

　原点付近に平坦な部分が現れ、蛇行も目につくようになります。
　x → ±∞ では、やはり cos²x の影響は無視できるので、 x² − y² + 1 = 0 が漸近線となります。

�B 双曲線的な性格は失われません

　今度は少し趣を変えて


という関数を作ってみます。



　青の点線で描いた普通の双曲線よりも曲率が大きくなっていますが、やはり双曲線的な性質は失われていません。
　 　

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x = 1 で分離される振動関数

　今回はまず最初に


という関数のグラフを描いてみます。

　

　平方根と異なり、３乗根は負の値に対しても全て実数を返しますから、基本的に全域で定義することができます。ただし上の関数については x = 1 の１点だけは定義できず、直線 x = 1 付近で関数は分離されてしまいます。 x = 0 のところに、べったりと水平な部分があるのも特徴的です。これは x ≒ 0 で x³ の寄与が非常に小さいことに起因します。

　ここまでは準備体操。本番はここからです。
　g(x) = cosx に f(x) をかけて


という関数を作ってみると ......

　

　とても複雑なグラフが描かれています。
　x → 1 で ±∞ となるのは f(x) と同じです。 x < 0 では減衰しながらもその山と谷の正負は g(x) = cosx と一致していますが、 0 < x では f(x) が負になるので、h(x) は g(x) の山の近くで谷、谷の近くで山というように符号が反転しています。 h(x) の式はさほど複雑には見えないのですが、これぐらいでも解析にはコンピュータの力を借りる必要があるのです。