分かりやすい高校数学:確率(番外3)モンティ・ホール問題2
前回 ⇒ 確率(番外2):モンティ・ホール問題1
さて，今回はモンティ・ホール問題の解答を計算する方法です，前回，主観確率と客観確率の違いを説明いたしました．それをちょっとまとめてみましょう．
客観確率：誰の目から見ても明らかな，客観性を持った確率
問題を定めたら，ただ一つだけ決まる
主観確率：考えや信念により定まる，主観性を持った確率
人それぞれで異なっている．
ここで，モンティ・ホール問題は，「解答者の主観確率」を計算するものとなります．ではなぜ，客観確率の計算の問題とならないのでしょうか？それは，客観確率はこの場合存在しないからなんです．客観確率は既に答えが決まってしまっている問題に対して，計算することはできません．答えが決まってるのだから，正解の扉が確率的に変化することはないからです．これをちょっと図で説明してみましょう．
下の図は，モンティ・ホール問題が作られるまでの過程を示しています．過程は①ドアと車，ヤギを用意する→②モンティがドアセッティング→③解答者選ぶ→④モンティが外れのドアを開く という四つに分けて考えています．
今，問題が出されている時点というのは④の時点の話です．しかし，正解のドアはすでに，②の時点で決まってしまいます．そうすると，どのドアが正解であるかという客観確率は，④の時には考えることができなくなります．「これから，あるドアに正解が入る客観確率」（②より前の時点での客観確率）は定められるのですが，「すでにドアに正解が入っている客観確率」（②以降の時点での客観確率）は定められないんです．確率の問題じゃなくなっちゃうからですね．
サイコロの例でいえば，「サイコロを振った時に，１が出る客観確率」は1/6ですが，「サイコロを振った後で，それが１であった客観確率」は計算できないのです．でもこの両者は非常に似通っていますから，後者の答えも1/6と考えていいように思いますよね．それを主観確率と呼んでいるわけです．
さて，では主観確率は数学的にどのように計算されるのでしょうか？主観確率も，実は客観確率の考え方に沿って計算します．客観確率の考え方は覚えているでしょうか？そう，無限回の試行をしたときに，その事象が現れる割合で計算されますね．
しかし，それを単純には実行できません．問題となっている④の時点では，既に正解が決まっているわけですから，何万回試してみたって，正解は常に同じドアになります．割合なんか出てきません．そこで，問題が始まる前，つまりドアや車を用意するという時点からさかのぼって，①から④までの過程を試行します．①の時点では正解のドアは決まってないわけですから，④までたどり着いたとき，正解のドアは常に一定ではなくなるわけです．これによって「確率」が計算できるようになるわけです．
さぁ，実際にモンティ・ホール問題を計算してみましょう！これを図で示してみます．
②の時点までは確率的な分岐がない一本道になります．（正確には，モンティがどのドアに正解を入れるか，という分岐があるのですが，正解を入れたドアをＡ，不正解のドア二つをＢ，Ｃと名づけることで，問題の説明を簡単にしています）
③の時点で，分岐が現れます．解答者がA，B，Cの三つのドアのうち，どのドアを選択するかですね．これはそれぞれ，1/3の確率で選択されます．
④の時点では，司会者(モンティ)は必ず不正解のドアを開けます．このとき，不正解のドアが一つしかないなら（つまりは，解答者が不正解のドアを選択していた場合）分岐はありません．しかし，二つある場合（つまりは，解答者が正解のドアを選択していた場合）は，不正解のドアＢ，Ｃの中から，それぞれを1/2の確率で選択することになります．
さて，これで問題が出されている状況までたどり着きました．この時，選んだドアに正解が入っている確率はいくつでしょうか？そう，1/6 + 1/6 = 1/3ですね．そして，もう一つのドアが正解である確率は1/3 + 1/3 = 2/3になっています．よって，選んだドアが正解である確率の方が低いので，ドアは変更した方が良いわけです．
ただし注意してほしいのは，この解答が正しくなるのは「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知っている」場合に限られます．もし，解答者がそれを知らない場合，確率が変わってしまいます．これは客観確率ではありえないことです．そう，主観確率は，その主観確率を持っている人が「何を聞き，何を知っているか」によって変わってしまうのです．
では次回，「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知らない」場合を考えてみたいと思います．
それではー
最初 ⇒ 確率(1)問題設定
さて，今回はモンティ・ホール問題の解答を計算する方法です，前回，主観確率と客観確率の違いを説明いたしました．それをちょっとまとめてみましょう．
客観確率：誰の目から見ても明らかな，客観性を持った確率
問題を定めたら，ただ一つだけ決まる
主観確率：考えや信念により定まる，主観性を持った確率
人それぞれで異なっている．
ここで，モンティ・ホール問題は，「解答者の主観確率」を計算するものとなります．ではなぜ，客観確率の計算の問題とならないのでしょうか？それは，客観確率はこの場合存在しないからなんです．客観確率は既に答えが決まってしまっている問題に対して，計算することはできません．答えが決まってるのだから，正解の扉が確率的に変化することはないからです．これをちょっと図で説明してみましょう．
下の図は，モンティ・ホール問題が作られるまでの過程を示しています．過程は①ドアと車，ヤギを用意する→②モンティがドアセッティング→③解答者選ぶ→④モンティが外れのドアを開く という四つに分けて考えています．
今，問題が出されている時点というのは④の時点の話です．しかし，正解のドアはすでに，②の時点で決まってしまいます．そうすると，どのドアが正解であるかという客観確率は，④の時には考えることができなくなります．「これから，あるドアに正解が入る客観確率」（②より前の時点での客観確率）は定められるのですが，「すでにドアに正解が入っている客観確率」（②以降の時点での客観確率）は定められないんです．確率の問題じゃなくなっちゃうからですね．
サイコロの例でいえば，「サイコロを振った時に，１が出る客観確率」は1/6ですが，「サイコロを振った後で，それが１であった客観確率」は計算できないのです．でもこの両者は非常に似通っていますから，後者の答えも1/6と考えていいように思いますよね．それを主観確率と呼んでいるわけです．
さて，では主観確率は数学的にどのように計算されるのでしょうか？主観確率も，実は客観確率の考え方に沿って計算します．客観確率の考え方は覚えているでしょうか？そう，無限回の試行をしたときに，その事象が現れる割合で計算されますね．
しかし，それを単純には実行できません．問題となっている④の時点では，既に正解が決まっているわけですから，何万回試してみたって，正解は常に同じドアになります．割合なんか出てきません．そこで，問題が始まる前，つまりドアや車を用意するという時点からさかのぼって，①から④までの過程を試行します．①の時点では正解のドアは決まってないわけですから，④までたどり着いたとき，正解のドアは常に一定ではなくなるわけです．これによって「確率」が計算できるようになるわけです．
さぁ，実際にモンティ・ホール問題を計算してみましょう！これを図で示してみます．
②の時点までは確率的な分岐がない一本道になります．（正確には，モンティがどのドアに正解を入れるか，という分岐があるのですが，正解を入れたドアをＡ，不正解のドア二つをＢ，Ｃと名づけることで，問題の説明を簡単にしています）
③の時点で，分岐が現れます．解答者がA，B，Cの三つのドアのうち，どのドアを選択するかですね．これはそれぞれ，1/3の確率で選択されます．
④の時点では，司会者(モンティ)は必ず不正解のドアを開けます．このとき，不正解のドアが一つしかないなら（つまりは，解答者が不正解のドアを選択していた場合）分岐はありません．しかし，二つある場合（つまりは，解答者が正解のドアを選択していた場合）は，不正解のドアＢ，Ｃの中から，それぞれを1/2の確率で選択することになります．
さて，これで問題が出されている状況までたどり着きました．この時，選んだドアに正解が入っている確率はいくつでしょうか？そう，1/6 + 1/6 = 1/3ですね．そして，もう一つのドアが正解である確率は1/3 + 1/3 = 2/3になっています．よって，選んだドアが正解である確率の方が低いので，ドアは変更した方が良いわけです．
ただし注意してほしいのは，この解答が正しくなるのは「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知っている」場合に限られます．もし，解答者がそれを知らない場合，確率が変わってしまいます．これは客観確率ではありえないことです．そう，主観確率は，その主観確率を持っている人が「何を聞き，何を知っているか」によって変わってしまうのです．
では次回，「司会者（モンティ）が必ず，不正解のドアをあけることを，解答者が知らない」場合を考えてみたいと思います．
それではー
確率は最近色々な分野で使用されています．面白いところでは，ゲームなんかにも使われているんですね．最近ゲームは，将棋がプロに近付きつつあり，女子プロを破ったことでも有名になっています．また，囲碁においては，確率論を使ったモンテカルロと呼ばれる方法が，主要な方法となっています．
モンテカルロをゲームで使う方法は最近の手法なので，あまり解説してくれている本は少ないのですが，これはその中でも詳しく説明してくれている一冊です．実際にゲームを作ることもできる観点で，色々なゲームアルゴリズムを説明してくれています．興味ある方はぜひ，一冊ご購入してみてはいかがですか？ |
最初 ⇒ 確率(1)問題設定
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