今日は内積について話します。いいですか、皆さん。
ベクトルの内積、これはとても大切なことです。
今は何のためにこんなことを学ぶのかと思うかもしれません。しかし将来、もし君たちが計算の途中で道に迷ったら、どうか内積のことを振り返ってください ...... このネタ、若い人は知らないよね。いちおう言っておくと、金八先生ね～。
昭和の頃、こばとも毎週欠かさず熱心に見てたんだけど、今思い返すと、かなりぶっとんだ話ねー。皆さんも機会があれば DVD を買って観てねー。ついでに Amazon の宣伝しておこうっと。
 | 3年B組金八先生 第1シリーズ 初回限定BOXセット [DVD] 中古価格 |
こばとの数学基礎講座
三角関数とベクトル編⑪ 余弦定理とベクトルの内積
というわけで本日は ベクトルの内積 のお話ですよ～。
まずは下の図を見てくださいな～。
O を始点に A と B まで引いたベクトルをそれぞれ
としましょう。A から B に引いたベクトルは
となります。B から OA に垂線を下ろして交点を P とします。ここで AB の長さを OA と OB で表すことを考えます。三平方の定理を使うと
となります。ここでベクトルと三角関数を用いると
と表すことができるので
ここで三角関数に関する基本公式
を用いると
となります。これを 余弦定理 とよびます。そして右辺に現れた
を ベクトルの内積 と定義して
という記号で表すことにします。すると余弦定理は
と書くことができます。今度は、この余弦定理をベクトル成分で表してみます。
なので、三平方の定理を用いると、ベクトルの大きさの平方はそれぞれ
となります。これを余弦定理に入れて整理すると
と成分で表すことができました。
ベクトルの内積の意味
あらためて定義式をじっくり見てみると、内積は図のようにベクトル
そこで直交座標の x 軸に沿って
内積の値は cosθ によっているので、たとえば第 1 象限では θ が大きくなるほど内積は小さくなります。つまり
つまり内積とは「お互いが同じような方向を向いているかどうか」、「似ているかどうか」という目安になるのです。このイメージはとても大切で、実は関数もまた無限の成分をもつベクトルと考えることができて、異なる関数同士の内積をとってみると「お互いが似ているかどうか」ということを調べることができるのです。
これを人間関係でたとえると、趣味や価値観が似ている者同士は仲良くなって話も盛り上がるけど～、正反対の考え方をする（負の内積をもつ）人同士だと、もう一生分かりあえないってかんじね～。え？ 変なたとえ？ そうですかね？ 次回は内積と直角についてお話しましょ～。またね～。
≫ 2 つのベクトルが直角ならば内積は 0 ですよ～
