今回もまたまた数列クイズ。じっと睨んで規則性を見つけてみましょう。
問題61 簡単な規則で分数が並んでいます [中２★★☆☆☆]
第１項を 0, 第２項を 1 と定め、続く第３項からある一定の規則で次のように数が並んでいます。
0, 1, 1/2, 3/4, 5/8, □, 21/32, 43/64, ...
□ に入る数字を当ててください。
[ヒント] 答えを聞くと「なーんだ」と思うような簡単な規則で並んでいます。
あまり難しく考え過ぎないでください。
問題 61 の解答
この数列の各項は前の２つの項の平均をとっています。第３項から丁寧に確認してみると
第３項 (0 + 1)/2 = 1/2
第４項 (1 + 1/2)/2 = 3/4
第５項 (1/2 + 3/4)/2 = 5/8
となっています。よって □ に入る数は
第６項 (3/4 + 5/8)/2 = 11/16
となります。残りの項も確認しておきましょう。
第７項 (5/8 + 11/16)/2 = 21/32
第８項 (11/16 + 21/32)/2 = 43/64
漸化式で表すと
an+2 = (an+1 + an)/2
という数列です。エクセルでこの数列を描いてみると
横軸が n で縦軸が an です。
一定の値（0.667）に収束していく様子がわかりますね。
