Excel VBA　数学実験室

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Excel でなだらかな周期関数とジグザグ三角形のグラフを描きます

　今回は y = cos[x + cosx] という関数をベースにします。
　cos の中に cosx が入れ子になっていますね。グラフを描いてみると ......

　

　何だか変な波形ですが、ともかくも周期関数です。
　そして今度は [　] の中の cosx の x をさらに cosx で置き換えて


とします。こうやって cos をどんどん入れ子にしていくのですが、cos がずらずらと並ぶと目がちらちらするので、

　f₂(x) = cos(cosx)
　f₃(x) = cos(cos(cosx))

のように書くことにします。y = cos[x + f₂(x)] は ......

　

　今度は単調でなだらかな周期関数となりました。
　続いて y = cos[x + f₃(x)] を見てみましょう。

　

　ちょっとジグザグした三角形が並んでいますね。
　y = cos[x + f₄(x)] はどうなるでしょう？

　

　おや。また滑らかな周期関数に戻ってしまいました。
　最後に y = cos[x + f₅(x)] のグラフを描いてみます。

　

　今度はきれいな三角形が並びましたね！
　

周期を調整してみます

　正弦関数 sin の変数が平方根で抑え込まれていると x の増加に合わせて少しずつ周期が長くなります。逆に変数を 2 乗すれば周期が短くなっていきます：

　

　ではこの２種類の変数を重みをつけて重ね合わせて


のような形にすると周期の振る舞いを色々と変えられそうですね。
a, b を変化させてグラフを描いてみましょう：

　　

　１番上の図では等しい重み（a = 0.5, b = 0.5）をつけて重ねてありますが、√x の項よりも x ² の項のほうが効きが強いので、かなり早い段階で振動が激しくなってしまいます。
　図では √x の項にかかる係数の比率を増やすようにして変化を見ています。
　a = 0.95, b = 0.05 では x = 20 〜 25 あたりまで周期がのびますが、これほど √x の項の重みを増しても 25 < x あたりで周期の減少が始まります。