楕円の曲率半径を求めます: Excel VBA　数学実験室

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2016年10月19日

楕円の曲率半径を求めます

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　今回は ベクトル解析 の問題です。

問題53　楕円の曲率半径 [大学１★★☆☆☆]

(1) 長径 2, 短径 1 の楕円の方程式は x - y 直交座標で

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

で与えられます。

(1) この楕円の曲率半径 ρ(x) を求めてください。
(2) x = 0 および x = 2 における曲率半径を求めてください。

　ただし曲率半径は

$\rho =\frac{[1+f'(x)^2]^{3/2}}{|f''(x)|}$

で定義されるものとします。

　
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解答53

(1) まずは楕円の式を変形して

$\begin{align*} y=\pm\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} \end{align*}$

の表式を得ますが、これは後で y を入れるために用意しておくもので、微分計算自体は次のように両辺を微分して求めた方が簡単です。

$\begin{align*} &x^2+4y^2=4\\ &2x+8yy'=0\\ &y'=-\frac{x}{4y}=\pm\frac{x}{2\sqrt{4-x^2}}\\ &y'^{\: 2}=\frac{x^2}{4(4-x^2)} \end{align*}$

　同じように 2 階の導関数も

$\begin{align*} &2x+8yy'=0\\ &2+8y'^{\: 2}+8yy''=0\\ &y''=\frac{-1-4y'^2}{4y}=-\frac{2}{(4-x^2)^\frac{3}{2}} \end{align*}$

と求められます。これを曲率半径の定義式に代入して計算すると

$\rho (x)=\frac{1}{2}\left ( 4-\frac{3x^2}{4} \right )^\frac{3}{2}$

(2) (1) の結果に x = 0, 2 を代入すると

ρ(0) = 4,　ρ(2) = 1 / 2

となります。下図を参考に曲率半径のイメージを掴んでください。

　

補足（曲率半径はカーブを円で近似します）

　曲率半径 は曲線の曲がり具合が、どのくらいの半径の円で近似できるかを示すものです。曲率半径が大きいほど、大きな円に相当するわけですから、カーブが緩やかであることを示しています。曲率半径はその曲がる方向によって符号をつける定義の仕方もありますが、ここでは正の値で定義しています。また、曲率半径の逆数 1/ρ を曲率とよび、こちらは値が大きいほどカーブが急になります。
　　

posted by Blog Cat at 00:22 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学問題と解答