問題52 変数分離するために工夫します [大学１★★☆☆☆]
次のような微分方程式を考えます。(1) 微分方程式の一般解を求めてください。
(2) 初期条件 y(1) = 0 をみたす解はどのような概形を描きますか。
[ヒント] 今回も変数分離形ですが、そのままでは変数を分離することができないので、ちょっとした工夫が必要になります。 解については、わざわざグラフを描かなくても誰もがよく知る形となっています。
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解答52（u = y / x とおきます）
こういう形の微分方程式は u = y / x とおくのが定石です。
(1) u = y / x とおくと y = x u ですから
となるので、微分方程式に代入すると
となります。少し整理して変数を分離すると
となります。ここで
ですから、[*] の両辺を積分して変形していくと
となります。ここで |x| の絶対値を外し、その符号も任意定数にまとめて含めるようにすると
となります。
(2) (1) の結果に x = 1, y = 0 を代入すると A = 1 となるので
となり、これは点 (1/2, 0) を中心とする半径 1/2 の円です。
