問題47 sqrt(n^2+1) が無理数であることの証明 [高１★★☆☆☆]
n を正の整数とするとき、[ヒント] この種の証明で定番の方法がありますね。
問題47（背理法が定番です）
背理法を用います。と表せるはずです。両辺を 2 乗して
q2 は p で割り切れないので
とおいて代入して整理すると
となります。よって k = 1 となり、
しかし、n は正の整数であるはずなので、これは矛盾します。
よって
2016年10月08日
sqrt(n^2+1) が無理数であることの証明
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が無理数であることを示してください。
[ヒント] この種の証明で定番の方法がありますね。
が有理数であると仮定すると互いに素な数 p と q を用いて
と表せるはずです。両辺を 2 乗して
=p^{2}&space;\end{align*})
q2 は p で割り切れないので
とおいて代入して整理すると
となります。よって k = 1 となり、
(p-n)=1\\&space;&p+n=1,\,\,p-n=1\\&space;&p=1,\,\,n=0\end{align*})
しかし、n は正の整数であるはずなので、これは矛盾します。
よって は無理数です。（証明終わり）
[ヒント] この種の証明で定番の方法がありますね。
と表せるはずです。両辺を 2 乗して
q2 は p で割り切れないので
とおいて代入して整理すると
となります。よって k = 1 となり、
しかし、n は正の整数であるはずなので、これは矛盾します。
よって
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