問題34 サイコロで２次方程式の係数を決めます [高２★★☆☆☆]
1 個のサイコロを続けて 3 回振って出た目の数を順に a, b, c とします。このとき 2 次方程式
x2 + (a + b) x + c = 0
が実数解をもつ確率を求めてください。
[ヒント] 確率と 2 次方程式が組み合わされた問題です。
2 次方程式とくれば、もちろん「あの式」を使うわけです。
解答34（実数解をもつ条件ではなく ... ）
もちろん「判別式」を使うのですが ......素直に考えると方程式が実数解をもつことの条件は
D = (a + b)2 − 4 c ≧ 0
ですから、a, b, c を定める条件は
a + b ≧ 2 √c
となってしまいます。これではとても絞り込めそうにありません。「不等号の向きが逆だったらいいのになー」と思ってしまいますね。「ん？ 逆？ 逆にするなら ...... 」と考えて、方程式が実数解ではなく虚数解をもつ確率を求めて、あとで 1 から引けばよいということに気づきます。さっそく条件を書き直して
D = (a + b)2 − 4 c < 0 ⇔ a + b < 2 √c
これなら何とかなりそうです。丁寧に c = 1 から 6 まで調べていきましょう。
√2 = 1.414, √3 = 1.732, √5 = 2.236, √6 = 2.449 を使います。
・c = 1 のとき a + b < 2
a, b ≧ 1 ですから、この条件を満たす (a, b) は存在しません。
・c = 2 のとき a + b ≦ 2
(a, b) = (1, 1) の 1 個
・c = 3 のとき a + b ≦ 3
(a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1) の 3 個
・c = 4 のとき a + b < 4
(a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1) の 3 個
・c = 5 のとき a + b ≦ 4
(a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (1,3), (3, 1) の 6 個
・c = 6 のとき a + b ≦ 4
(a, b) = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (1,3), (3, 1) の 6 個
したがって、虚数解をもつ (a, b) の組合せは全部で 19 個です。
サイコロ 3 つを振ったときの目の出方は
6 × 6 × 6 = 216 通り
ですから、方程式が虚数解をもつ確率は
19 / 216
です。よって方程式が実数解をもつ確率は
1 − 19 / 216 = 197 / 216
となります。
