限られた範囲で定義される関数
高校で微積分を習い始めたばかりの頃に、の「 x → 0 における極限値を求めなさい」というような練習問題をよく目にしますね。 0/0 の不定形なので、分子を有理化するという手順で f(x) → 1 という極限値を得るのですが、これはこの関数が原点でぽっかり穴が空いている（不連続である）ことを意味しています。
それに加えてこの関数は分子に根号があるために、x < －1 や 1 > x の値はとれません。原点での不連続性も含めて区間 [-1, 0) および区間 (0, 1] という限られた範囲のみで定義される関数です。実際にエクセルでグラフを描いてみると
このような概形になっています。原点で値をもたず、x = ±1 で √2 の値をとります。
cosx, sinx を掛けると次のような概形になります。
分子の根号同士の引き算を足し算に変えて、
としてみると ......
今度は x → + 0（右側極限）で f(x) → +∞ となり、 x → －0（左側極限）で f(x) → －∞ となって原点で分離しています。
