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2015年05月16日

三角関数を肩に乗せます

【Excelショートカット豆知識】
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三角関数の肩に三角関数を乗せます


 かなり無茶ですが、三角関数の肩に三角関数を乗せてみました

 sinx^sinx.gif

 どう表現してよいのかわからない形です。
 これを x 全域で定義できるように改良してみます。

y = (cosx + 1.01) sin2x

という関数です。cosx + 1.01 は必ず正の値をとります。グラフを描いてみると・・・・・・

 cosx^sin2x.gif

 3つの山がセットになった周期関数です。
 先にも見たように、三角関数の中身を無理数にすると周期が崩れます。
 今回も試みてみましょう。

y = (cosx + 1.01) sin √2x

というふうに変形してみますと・・・・・・

 cosx^sin√2x.gif

部分的に鋭いピークをもつ奇妙なグラフになりました。

x の肩に三角関数を乗せます


 お次は y = x sinx 。単純といえば単純です。

 x^sinx.gif

 綺麗な周期関数で、山の高さが徐々に増していきます。「sinx = 1 となる x = (2n + 1/2) πで山となるんだな」などと早合点してはいけません。x = π/2 = 1.57 は山ではありません。x = π/2 を少し超えると sinx の値は落ちますが、x は増加するので、そちらのほうの効きが強いのです。最初の山は少し先の x = 2.13 にあります。極値を求める方程式は厄介な形をしています。まずその方程式を求めてみましょう。

y = x sinx

この関数の微分は両辺の対数をとると簡単です。

logy = sinx logx

ここで両辺を微分して、

y′/ y = cosx logx + sinx/x
y = x sinx を再び代入すると

y′= x sinx (cosx logx + sinx/x)

となります。y′ = 0 とおくと、x sinx は常に正ですから、落としてしまって整理すると、

x cosx logx + sinx = 0

という極値を求める式になります。おそらく手計算で解を得ることは難しいと思います。解けた人がいたらコメントで教えてください。
 では上のグラフを変形してみましょう。 x の肩に乗る三角関数に新しい項 sin√3x を加えると、次のようになります。

 x^(sinx+sin√3x).gif

 やはり三角関数の中身を無理数にすると周期は崩れます。
 不規則にピークが現れるグラフになりました。

 対数関数の肩に三角関数を乗せてみます。

 logx^sinx.gif

 特に断りがなければ底は e です。1 < x で定義されています。logx は単調増加関数ですから、 y = logx sinx は少しずつ振幅を増す周期的な関数となります。指数部分の関数をもう少し複雑にしてみましょう。振幅増加を打ち消す目的で、logx を引いてみます。 y = logx sinx - logx という関数です。

 logx^(sinx-logx).gif

 最初の2周期は頑張って振幅を増加させようとしますが、すぐに指数部分の -logx の部分が効いてきて、振幅は減少に向かいます。
   
posted by Blog Cat at 22:05 | Comment(0) | TrackBack(0) | 三角関数
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