Excel VBA　数学実験室

Excel でノイマン関数（第 2 種円柱関数）のグラフを描きます

　ベッセル微分方程式を載せておきます：


　この方程式の解の１つがベッセル関数 J_ν(x) です。上式は J_ν(x) とは独立なもう１つの解が存在します。それはノイマン関数と呼ばれ、次のような式で表されます：


　この関数のことをノイマンのベッセル関数、或いは単にベッセル関数と呼ぶこともありますが、紛らわしいので、このブログでは J_ν(x) をベッセル関数、 Y_ν(x) をノイマン関数（第 2 種円柱関数）と呼ぶことに決めておきます。νは全複素数で定義されますが、今の段階ではνが整数の場合のみを扱い、 Y _n(x) と記述します。Excel では BESSELY 関数を用いてノイマン関数の値を計算することができます。ではさっそく Y ₀(x), Y ₁(x), Y ₂(x) のグラフを描いてみます。

　

　ベッセル関数とよく似ていますが、−∞ から立ち上がってくる特異な形の周期関数です。さて、今回の変形バージョンはノイマン関数 Y ₀(x) の変数 x を expx に変換してみます：

　

　ノイマン関数よりも早く振幅が減衰する関数です。
　 x の増加に伴って周期もどんどん短くなっていきます。

ノイマン関数の応用

　ノイマン関数 Y₀(x) に対数関数を乗じてみましょう：

　

　ノイマン関数と logx の負値 が掛け合わされて正値となり、原点近傍で + ∞ から落ちてくる周期関数となります。同じように Y₅(x) に対数関数を乗じると・・・・・・

　

　非常に深い谷をもつグラフです。 n が大きくなると、谷はどんどん深くなっていきます。 Excel で描くことも困難なほど、大きな負値をとります。それでも無理に logx Y₇(x) 描いてみると・・・・・・

　

　スケールの比較で、他の振動する部分が直線のようになってしまいます。 Y₅(x) あたりが限界なのです。
　
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