Excel VBA　数学実験室

Excel でノイマン関数（第 2 種円柱関数）のグラフを描きます

　ベッセル微分方程式を載せておきます：


　この方程式の解の１つがベッセル関数 J_ν(x) です。上式は J_ν(x) とは独立なもう１つの解が存在します。それはノイマン関数と呼ばれ、次のような式で表されます：


　この関数のことをノイマンのベッセル関数、或いは単にベッセル関数と呼ぶこともありますが、紛らわしいので、このブログでは J_ν(x) をベッセル関数、 Y_ν(x) をノイマン関数（第 2 種円柱関数）と呼ぶことに決めておきます。νは全複素数で定義されますが、今の段階ではνが整数の場合のみを扱い、 Y _n(x) と記述します。Excel では BESSELY 関数を用いてノイマン関数の値を計算することができます。ではさっそく Y ₀(x), Y ₁(x), Y ₂(x) のグラフを描いてみます。

　

　ベッセル関数とよく似ていますが、−∞ から立ち上がってくる特異な形の周期関数です。さて、今回の変形バージョンはノイマン関数 Y ₀(x) の変数 x を expx に変換してみます：

　

　ノイマン関数よりも早く振幅が減衰する関数です。
　 x の増加に伴って周期もどんどん短くなっていきます。

ノイマン関数の応用

　ノイマン関数 Y₀(x) に対数関数を乗じてみましょう：

　

　ノイマン関数と logx の負値 が掛け合わされて正値となり、原点近傍で + ∞ から落ちてくる周期関数となります。同じように Y₅(x) に対数関数を乗じると・・・・・・

　

　非常に深い谷をもつグラフです。 n が大きくなると、谷はどんどん深くなっていきます。 Excel で描くことも困難なほど、大きな負値をとります。それでも無理に logx Y₇(x) 描いてみると・・・・・・

　

　スケールの比較で、他の振動する部分が直線のようになってしまいます。 Y₅(x) あたりが限界なのです。
　
　≫ Python ベッセル関数とノイマン関数
　

何となくの数学日記�@

　右サイドバーには最新 20 記事が並んでいますが、その下にカテゴリ一覧があることにお気づきですか？　ここには「三角関数と対数関数」、「ベッセル関数」、「ガンマ関数」というように、扱う関数によって記事が分類されています。何かお探しの関数があるのなら、このカテゴリ覧を活用してください。

何となくの数学日記�A

　右サイドバーには Excel 数学関数辞典というメニューもあります。数学でよく使用される Excel 関数の使い方をまとめていますので、これから自分でエクセルを使ってみようと思う人は覗いてみてください。たとえば「 cosx のグラフを描きたいんだけど、変数の "度" を "ラジアン" に変換するにはどうしたらいいの？」というような基本的なことがわかります。「それぐらい知っているよ」という人には・・・・・・特に必要ないメニューです。本編をよろしくです。

何となくの数学日記�B

　ところでもうすぐラグビーワールドカップの決勝ですね。「オーストラリア対ニュージーランド」という強豪国同士の対決です。とても楽しみです。それにしても最近の TV 放送は便利ですね。何か判定があるたびに「ノックオンとは・・・・・・」という感じで画面の隅にルールを表示してくれます。私のような "にわかファン" にとっては有難い機能です。次回の日本大会までにはきっちりルールを覚えて観戦したいですね。１度ぐらいは競技場で見てみたいですけど、これだけ日本代表の人気がでると、チケットをとるのはすごく難しいでしょうね・・・・・・。