原点から放物線上の動点までの距離
放物線 y = a x2 + b x + c 上の動点から原点までの長さ L について調べてみます。
L は x の関数として
L2 = x2 + (a x2 + b x + c)2
によって与えられます。 3 つのパラメータ (a, b, c) をいろいろ変えながら L(x) のグラフの概形を見てみましょう。
これが基本形です。 L2 = x2 + x4 ですから、4 次関数に 2 次関数を加えて平方根をとる形になります。全体としてほぼ 2 次関数によく似た形になりますが、原点付近で少し異なった振る舞いをします。
少しパラメータを動かすとこんなにも形が変わります。 c = 0 のときは放物線が必ず原点を通るので、原点における値の変化が激しくなります。
c に値が入ると放物線が原点から離れるので、原点付近で滑らかにつながります。
とはいえパラメータ b と c の兼ね合いで放物線が原点に接近していると、やはり原点付近で値の変化は急激になります。
