スローライフの森　数１　＆　自家菜園

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大人のさび落とし

図形と方程式　領域内の最大値・最小値
（２）


001

三つの不等式に

囲まれた　領域D

があるんですが


その　領域を　図示し


領域内を　点が動くとき

ｘ二乗　+ｙ二乗の

最大値　最小値を　もとめなさい


という問題


002

三本の　不等式をですジャン

直線に　見て

交点を　Ａ，Ｂ，Ｃ　求めると


003
➀�Aから　行ってみますと

引算すれば

ｘ　が　消去できて

ｙの　式になるので

ｙ＝０


�Aに　ｙ＝０を　代入して

ｘ＝6



004

普段見慣れた
直線の式に書き換えれば


➀�Aの　交点Ａは

Ａ（６，０）



005

�A�Bの　交点は

今度は

�Bから　�A×２を　引き算すれば

ｘが　消去できて

yの式になるから

ｙ＝21/5



006


ｙ＝21/5を　�Aに代入して

ｘ＝9/5


これを　点Ｃ（9/5，21/5）


007

見慣れた　かたちにすれば

こんな感じで

交点Ｃは　ここ


008
　
�B➀の交点は

➀と�Bを　足せば

yが消去できるので

ｘ＝ー１


ｘ＝ー１を　➀に代入して

ｙ＝7/3


これを点Ｂ　（　-1，7/3）


009

見慣れた　形にして

交点は　ここ



010

以上まとめて

不等式の　示す領域は

三角形の　3辺上を含む　内部

これが　集合Ｄ



011


ｘ、ｙが　Ｄ内を　動くとき


ｘ二乗　+ｙ二乗の

最大値　最小値は


先ず　最小値から


ｘ二乗　+ｙ二乗＝Ｋ　とすれば

これは　原点中心の　半径√Ｋの円


円が　辺ＡＢに　接するときが　

最小値になるから



012

辺ＡＢの式を

円の式に　代入して

接する条件で

判別式Ｄ　Ｄ＝０

とすれば



013


こんなでしたね


014



kは　18/5


これは　そのまま

ｘ二乗　+ｙ二乗の　最小値


別解もあってですね


点と　直線との　距離

公式に　入れれば

6/√10



015

ｘ2　+ｙ2=k　　とした時


ｋは　半径の　二乗

k=（√ｋ）2


点と直線との距離は

半径で出てくるので

ｋを求めるには

2乗して　いただいて

18/5


016


最大値は

半径を

伸ばしてきますと


点Ａを　通過するときが　最大値






017

領域と　２ｘ+ｙ


２ｘ+ｙが

領域内で

最大・最小になるときは？



018

２ｘ+ｙ＝ｋと置いて


式変形して行くと

ｙ＝-2ｘ＋ｋで

この　傾きの直線の

ｙ切片の　変化だとわかるので



019


円と直線でできた

領域の

第一象限での　交点は



020


（x,y）=（1,2）の時

その交点を

通過するときが

最大なので

最大値4



021

最小値は

ｙ＝ー２ｘ+ｋが


円と接するときで

第三象限で

接するとき



022

直線を　円に代入して

判別式で

接するときを

求めると



023


最小値は-5



024

こんな感じカナ



025

問題

この不等式の

領域内に

式が　入ってるように



026

この式はさ

＝ｋ　と置いて

変形してくと

半径は変わるんだけど


円の方て式になってるので




027

領域の　境界線との関係で

接する　交わる　を　調べると


代入して

判別式




028

この　判別式が


ゼロ　以上ならいいのだから



029

こんな感じになるですね



030

図にすると　こんなイメージで


031


ｘ、ｙが　これこれの

不等式を　満たすとき


ｘ+ｙの　最大値が

=2になる様に

負の定数Ｐを　求めなさい



032

二次関数の　グラフで

領域が　できてるので

標準形にして

頂点を　みると



033


で

Ｐは　負の定数であるから



034



分かってる　条件で

図を　書いてみると


この　2次関数が

直線　ｙ＝ーｘ+2に　接する　様に


035

であるがため

�Aを　➀に　代入して

判別式Ｄ　D=0を見ると


036


因数分解で来て


037

Ｐは　-3



038

代入して

判別式を　みれば　接してるでしょ


お疲れ様です。

大人のさび落とし



図形と方程式　領域での最大・最小

01

領域を　表す式が与えられていて

その領域内を

点（ｘ、ｙ）が　動くとき

ｙ+２ｘの　最大　・　最小を

求めてちょうだい。


02

まず　領域を　見える様に

絶対値が　苦手な方も

けっこう　いらっしゃいますが

慣れだからさ


絶対値が　ついてるがために

答は　正なんですが

絶対値が付いてないと

中味がじゃナイスカ

負の時と　正の時があるですので



03

少し整理して


04


こんな感じに


05


さらに　少し整理して

傾きと　y切片が　わかる形にして


06


わたしんとこは

子供は

学校も出ずに

毛皮を着て

猫っていうんですが

9匹のメス




07

話を　元に戻して

こんな感じに

整理できました


これが
　

与式の　表す領域ですよ


08


ここから

ｙ+２ｘの　最大・最小を

求めるんですが


＝ｋと置いて

式を　ちょっと　書き換えると

ｋは

y切片で


出てくるとわかるので



09


ｙ＝-2ｘ+ｋを　

領域を通る様に

（　ｘ、ｙ）　が　領域内を

動くとき

ｋが　最大と　最小に　なるとこを

見ると


10


答は　こんな感じで



さっきの　横道ですが

我々世代は

息子　娘が　大人になってるか

遅かった人は

学生　真っ只中か


な感じですか

コロナの　ダメージから

何とか　這い上がりたい

この頃ですね


身も　体も　心も　経済も



11


るいだい


ラーメン大学で

味噌バタ　コーントッピングって

いま　いくらかな


タクシー乗ってますか？


すみません

にたような　問題です



12


大雑把に　ここら辺のなかの

後　二つ　不等式を

書き込むと


13

こんなだから


14


こんな感じか

ここと　ここを　通るとき

最大　最小


15


数字が　偉く　大きくなってるけど


式変形したときに


最大　・　最小　を

求める

直線の式の　ｙ切片が

ｋ/4　になってるので


元の　式に　ｘ、ｙを

代入したらば

4倍だからさ

これでいいんだけど




高校とかの　物理で

なんかの　問題を

解いていて

答が　すごく　おおきく　成っちゃって


せんせ　曰く　偉い　大きいな

誰か　電卓　持ってるか？

勉強するとき　別に

使ってもいいからさ



あ　だいじょうぶだな



16

また　少し　横に行ってましたが

これです



17


これも　類題

領域を　求めて


最大・　最小のとこが

表現が　変わっただけ



18

先ず　領域を

求めて


19

傾きと切片が　わかる形で

グラフを　作ると


20

こんなで

�Aと�Bの　交点は（４，５）



21

一次　式に領域の　（ｘ、ｙ）を

代入してくと

ｙ切片が

変わってくる

その　軌跡が　ｙ軸に　できるんですが

それが　Ｒ　じゃナイスカ





22

ここから　ここまでを

計算して


23





こんな感じで


集合R　だから　R｛　ｔ　｜　1　レスザンイコール　ｔ　レスザンイコール　１３｝

って書かないといけない。


24



ある工場で

製品を　２種類作っているんだって

ソレゾレ　同じ2つの原料を


割合を　変えて　作っていて

1単位作るのための　必要度と

利益は

表のようになっているんだって


最大利益を

出すには

ソレゾレ　　何単位づつ　

作ったらよいか



25

これがさ

表



26



表を　縦に見て

A　と　Bで

Pは　65キログラム

Qは　84キログラム

まで

利益を　ｋとすれば


27


グラフにして


28


最大　利益を　出すには

2つの式の　交点になってるとこの

ｘ、ｙ　の　値を

代入すると



29


交点は


30


（3，7）

であるので

ｘは　Ａ　　　ｙはＢ

としたので

Ａを3単位　Ｂを7単位


作ると

最大利益になる


31


こんな感じですか




お疲れ様です。

大人のさび落とし


図形の通る領域


01

ｙの2次関数があるんですが

変数aが　入っています


aが　実数の　値を　とって

変化するとき


放物線の　通る範囲を

求めなさい



02
考え方なんですが

例えば　（１，３）　は通るかな


代入するでしょ


すると


03



aの値が　2つ　出て来て

-2　または　1　のとき



aが実数の値を　とって

変わる　とき

-2,1　になるときは

点（１，３）を　通るってことですよ

つまり

（１，３）　は　通る範囲にある



04

（2,1）　ならどうか

代入してみたらば


05

aの解が　虚数になった

実数でない

つまり

点（２，１）　を　通るためには

aが　実数の範囲を　

越えてしまうので


ダメ


通らない


06

このことから

（ｘ、ｙ）　に　点の値を


代入して　

つまり　aの2次方程式にして

その解が


実数解を持つならば

通る

虚数解ならば

通らない


aの2次方程式に

整理して

判別式

Dは　ｘ、ｙの　関係式になっていて



Dが　0以上になれば　通る


07


こんな感じに



08


じゃあ　行きますよ

　今度は　

この直線が

通らない領域を

図示せよ


具体的に

（ｘ、ｙ）　を　入れてくなんて
場合を　尽くすことは

出来ませんので


しかし

ｘ、ｙ　が　わかってるときは

この式は

aの　2次方程式になるよ

そこで

展開して

aの2次方程式に　整理して

判別式：D

D　0未満を求めると


ｘ、ｙの　関係式で出て来て


09


円の　方程式になるかな


10


これで　終わりでは無くて

いま　さっときてしまったけど

2次方程式でないと

判別式は　使えない

イマのは　ｘが　2でない場合



11
ｘが　2の時は

2次方程式にならず

ｙa＝−１

aは　変化する実数で

aの値が　変わっていく時に

この式が　成り立つものがあれば

通ることになる


通らない場合であるので

ｙ＝０　



12
こんな感じで


13
次は

直線が

通る領域を　図示せよ



aについての

2次方程式に整理して

判別式で



14


こんなグラフか


で　グラフの　下側

って　やりたいとこですが


これでは　不完全


aが　正の数の時

を　どう表現するか？





15

aについて　解くと

解が2つ　出てくるんだね


a1,a2


とするでしょ




16


aが　正の数で　値を　変える時

2次方程式なので

解が　aの値が　2つある

少なくとも　1つが

正の数で　あるためには


ア　２つとも正


イ　どちらかが正で　他方が　ゼロ




17


ウ　異符号の時






アから見てきますと

a1+a2　は　正

ｘは　正


18

a1a2　は　正

yは　　正


であるから

赤枠


19

イ　どちらかが　正で

他方が　ゼロ

足せば　正

ｘは　正


かければ　ゼロ


20



ｙは　ゼロ


ウ　のとき

掛ければ


yは　負



21

ア＋イ＋う　は

こんな感じで




22


円があるんですが

aが　実数の値を

とってかわるとき


円の　通る　領域を求めよ

　展開して


aで整理して


23

判別式が

ゼロ　以上のとこは



24


今回は　


（ｘ+ｙ）の　二乗は

プラスだけど

（ｘ+ｙ）は　マイナスの場合も


あるので




25


こうすればさ



26

こんな感じで



27

条件が　いくつかあるんですが


2点を　通る直線上に　無い領域は？




28


今回の直線の　方程式は

両切片型なので


あったじゃナイスカ

こんな感じで



これを

平らにしてくと



29

実数変数のa,bを

aで表してるので


aの　2次方程式の　判別式にして

2次の項の係数ｙが

ゼロでないとき



30

方曲線の感じに

なってじゃナイスカ



31

2次の項の係数ｙが

ゼロの時



ｘ＝aで　これは　ゼロではない


逆に

このとき

ｙ＝０のとき　X=0は　通らない



32


こんな感じですか




33

直交座標において

点A(1,2)、B（-2,5）を通る

どんな　2次曲線も

決して　通らない　点

を　求めよ


34

a,b,cを　全部　aで

表わせば



35


先ずｂ



36

つぎにｃ

ｂ、ｃを　代入して



37


ここからなんですが


これを

aの方程式と考えて


ゼロでない

解を

持たない　点の集合を


求めると




38

Ⓐ　ｙ＝-ｘ+3　ではない


もう一つの　式から

ｘ＝−２の時　ｙ＝５は　

解になってしまうので

外す



39

x=1の時

ｙ＝２は　解になってしまうので

　外す


40

Ⓑも　見てみた結果


41

こんな感じで

赤い所





お疲れ様です。

大人のさび落とし



領域を　表す　不等式


01

今回は　領域が

初めに　示されています

この領域を

表す　不等式を　求めなさい


（1）（2）は　兎も角さ

（３）は　やばいよね


02

（1）は

Y=xの線を含んで　下側

と

ｙ＝０　以上の　領域


であるから

うまく　くっつけられて

こんな感じで




03

（２）　これはさ

絶対値　の　グラフ


04
ｙ＝０　と　ｙ＝｜ｘ｜


について


ｙ＝０以上

ｙ＝｜ｘ｜以下






ｙ＝｜ｘ｜以下は

ｙ−｜ｘ｜＝０以下に　式変形して

ゼロ以下　×　ゼロ以上
（マイナス）　（プラス）
　
＝　ゼロ以下
　　（マイナス）


で

くっつけてですよ

こんな感じで


05

問題はさ

これなんだけど



境界線を一つ

越すごとに

+、-、+、-と　変わっている

境界線の方程式を

拾ってきて

=0の形にして

全部　掛け合わせてじゃナイスカ



いいんかな


領域の　ひとつを　選んできて

その中の　要素を　代入したらば



06

プラスになるんだね

そこで

境界線を　含んでいるので

＝もつけて

プラス


これが　答えなんだけど



07

実際に　なってるか

計算してみるとさ


08

なんか　物理かなんかの

実験データ　みたいな感じだけどさ


09

交互に

+、-、になってるようですが


10
めんどうだから

電卓を　たたいてると


11
そういえば

実験とかで

電卓　が　必要になって

けっこう　高いの　買ってたかな

（学生の頃）


12
高校までと違って

試験のときに

電卓　持ち込み可　

なんて言う試験も

ざらだし

（　ただし　
　　
プログラムは　不可とかさ）



13

始めん頃

不思議な感じで


試験してましたが


14


あ　コロコロ　使ってますか

電卓が　ある時はいいけどさ

て計算の時に


マイナス　何乗

とかさ

マイナスの時は

左へ

今回は　３コロコロ


15

計算自体は

プラスか　マイナス　で

出てくるけど

境界線を　含んでますため

＝　も　付けてね


16

学生の時はさ

実験が　長引くと

学食に

行けなくて


17

よくさ

実験中に


召しが食いたい



18

我々は

やらなかったけど


化学かなんかの　人たちで


実験中に　

おなかがすいて

ビーカーで　ラーメン煮てたとか


むかしは

良くありましたね


教授は　寛大で

やっても　いいけど

チャンと　洗っときなさいよ！！

（わたしん時は　まだ　

インターネットが　始まったばかりで

パソコンも　

カセットテープ　

フロッピーディスク　

が　メインで

情報が　遅かった


だから　拡散されず　あまり　

問題にならず　すんでましたが


イマハ


うっかり　いたずら半分に　

やっちゃうと


社会の　歯車の　一つだと

いうことを　忘れちゃうと



すぐ　大問題に　なってしまうので

よく考えてじゃナイスカ）










19

そんなことは

兎も角

今回の　ようなケースは

こんな感じに

なるよです



20



では　類題　行ってみましょう



21

大きい円と

小さい円


大きい円の　外側で


カツ　

小さい円の　内側

境界線含む


大きい円は　中心が　（0,0）半径１




22


小さい円は

中心と　半径が　わかんないけど

円周上の　3点が　わかってるので

計算してみますと

まず　（0,0）



23

（0,1）

（1,0）


24



式が3本出て来て


�A�Bから

ｎ＝ｍ



25


➀に　ｎ＝ｍを

代入して

半径がさ

半径は　長さ　であるんで

正の値



26

ｎと　ｍ　を

全部　ｍにして



そうするとさ

ｒの二乗もさ


で

ｍ＝1/2



27


ｎ、ｍ　、ｒが出てきたので

方程式が出来上がって



28


その　周上　および　内部

大きい円と　合わせると

こんな感じで


29

これはさ

円と　絶対値の　グラフ


2本の線分と　円で　囲まれた

境界線上と　内部



30

絶対値をさ


外すと

マイナスの時は

絶対値　ヲ　外すと　前に

マイナスが

ところが


絶対値を　外したときに

ｘが　プラスになってるので


絶対値の前に　マイナスをつけて


31





こんな感じで



32



円の方は　問題なく

であるので

こんな感じに



33


次がさ

これは

今回は　　逐次　調べないけど

境界線を

一つ　越えると　+、-、+、

と変わってるので


境界の方程式を

拾ってきて





34


＝０に　変形して


掛け合わせて



領域になってる

エリアの　点を代入して


マイナスになったので


境界線も　含むから

=もつけて

こんな感じに



35

問題を　読んでいただいて



36

三角形を

直線の　方程式で

囲んで　行く時に

直線の　方程式は

こんなでしたね



この3番目を　使って



37

こんな感じじゃナイスカ


38


C、D、ッテいう点は


ここ　と　ここ



39

座標が　出てきたので


40

二次関数の　グラフは

こんな感じなので


Cのときより　下


Dの時より　上

マイナス　プラス　かけて

マイナスになる



41

この不等式を

解くと



42

求めるのは

aの　整数値であるから

1,2,3,4,5,6


お疲れ様です。

図形と方程式　大人のさび落とし


01

次の　ような　不等式の　領域を

図示せよ



直線　ｙ＝ｍｘ+２が　2点

A(3,2)　　B(-1、4）

を　結ぶ線分と　交わるときの

ｍの範囲を　求めよ



02

可能性としてじゃナイスカ

プラス・マイナス

マイナス・プラス

であるから

まず　大きく　2つに場合分け



03

集合M　と　集合N　とするでしょ


Mの中の➀�A

Nの中の�B�C

の　共通領域　を

合わせたものが


求める　領域になるので

➀キャップ�A：M

�Bキャップ�C：N



　　M　　　　　　カップ　　　　N

（➀キャップ�A）　カップ　（�Bキャップ�C）


04

集合Mの　�Aの方は

円の方程式で

中心が　原点　半径　１の　

周上　および　内部



➀の方は

絶対値があるので

絶対値を　プラスで　外すとき

絶対値を　マイナスで　外すとき


05

プラスで　外すとき

マイナスで　外すとき

絶対値の　中味の　Aを

挟む　かたちにして

Aの　符号を

正にすると


なるでしょ


06


であるから

集合Mの方の

共通領域は


これらの　共通部分


07

ここです


円の　内部と

直線の　下と　上



08


集合Nの方は

絶対値は

こんな感じで


こんどは円の外側



09

であるから

まとめると

与式は

二つの　可能性に　場合分けで来て

その　M　と　N　の　集合を

合わせたものが

領域になるから




10


こんな　形で

境界線を　含み　赤い所




堺　の　字が　

間違ってました


こっち　界



11

かっこ　２は


直線が　線分と　交わると






その時に



12

曲線が　線分を　突っ切てると

線分の　両端の　座標

の　ｘ　と　ｙ　の　ｙは

曲線上の　ｘに　対応する　

曲線上のｙ　つまり　ｆ（ｘ）

と　大きさを

比べると

ｙ１−ｆ（ｘ１）

ｙ２−ｆ（ｘ２）





一方の端が　プラスならば

他方の端は　マイナス

であるから

曲線　直線が　線分と　交わる領域は

この二つの　積が　

マイナス　か　等しい所



13

こんな感じに表現できるので



14

これを　計算するじゃナイスカ


15

不等式が


わかんなくなった時は

各因数が　ゼロ　になるとこを

数直線に　書き込んで

その前後を

交互に


左　←　右　

右から左に

＋　−　＋



16
不等式が

ゼロ　以上になってるとこは

ここ

これが　ｍ　の　値の範囲



17

では　類題行ってみましょう


18


場合分け


それぞれの　共通領域を

合わせたものが

求める　領域



19

集合Mの方は

円の　方程式は

円の外側



20

絶対値は


こんな感じに　なるので



21

場合分け　集合Mは

ここ　赤い所


境界線含まず


22


集合Nは

円の内部と



23

こんな感じなので


24

まとめると

与式は

大きく　2つに　場合分けで来て

それぞれの　共通部分を

合わせると



25

こんな感じに

なるですよ


26

次の

不等式のあらわす

領域を　図示せよ


27

先ず　因数分解


28

因数分解が　できれば

場合分け


29

集合　ん〜

大丈夫かな




30

こう言うさー

問題なんだけどさ



いま　やってるんはさ

すうがくだ〜からさ


え　わかってる

それなら　い　いんだけどさ

ホントに　大丈夫かな

だから　なんなんだ




赤い所


31

だから

まとめると




なので



32

これだ


33

ぐわいわり

えーと


問題


読んでいただいて


34

定点の座標から

どんな　値でも　いいって言ってるから

都合のいいとこを

２っつ　持ってきて



35

コレダ

で

与式を　変形と言うか

ｆ（ｘ）＝　に替えてじゃナイスカ



36

直線が　線分と交わるときの

領域の　求め方で



37

これを　解けば


38


最後は

2点が　在って

一方が　円の　内側

他方が　円の　外側

になる

円の　中心座標の　領域を


求めよ

円の　方程式は　これなんだって


そこで


39

ｆ（ｘ、ｙ）＝　にすれば

で

2点を代入したものが

領域の　外と　内　なので

積が　マイナス



40

これを　計算すると


41

二つの　積が　マイナス


42

ところで

ここでいうところの

a,bは　

それぞれ

円の　中心の

ｘ座標　ｙ座標


であるので

ｘ、ｙ　を　a,bに　代入して

今までのように

領域を

場合分けして

求めると


43

それぞれ

こんなだから


44

こんな感じに　なるんだって




お疲れ様です。

08030　図形と方程式　（　領域　）

01

集合を　表すときの

数学的な　書き方ですが

A　B　と言う　2つの

集合があるときに


包含関係を　調べよ


02

円の方程式の時の

不等式が　表す領域は

こんなだったですので


集合Aは

こんな感じ


03

集合Bは

絶対値付の　1次不等式


左辺に　Y　右辺に　X　の

ある形にして


Yについて

絶対値を　外すと



04

右辺の　マイナスつき　絶対値Xを

外すと


05
表にしたらば

こんな感じの　場合分けになって

じゃナイスカ


06

➀�A�B�Cのグラフを

書いてみると

領域は

線上を　含まず

どれも　線分の　下側


絶対値によって

変域に　制限がかかってるので

グラフにすると


07

➀は

ここ


08

�Aは

ここ



09

�Bは

Y　の前に　マイナスがあったので

払ったら

向きが変わって

線分を含まず

上側


10

�C

Yの前に　マイナスがあったので

払って

符号の　向きが変わり

線分を　含まず

上側


9-2

これを　まとめると

こんな感じの　周を含まない

正方形領域になって



10-2


A　と　B　の　包含関係は

BはAに　含まれる


11

領域の判定方法は

一般に

曲線で

平面が　分断されているとき


在る点に対して

不等式が　成り立てば　その点は　領域にある

不等式が　成り立たなければ　その点は　領域にない


12

つぎの　不等式の　表す領域を

図示せよ



13




不等式の　問題では

要注意もんだい


はじめて　やるときや

忘れてると

ひっかかっちゃう



14


グラフを書くときの

癖と言うか

習慣と言うか


グラフを書いたら

かっこ　1は　ｘｙ＝１　じゃなくて

ｙ＝1/ｘ　の　グラフの

不等式であるから


今回は　式変形上は

おなじだけど


領域の時は

違うんですよ



15

6っの　点を　選んで

調べてみると

赤い所になる




16

これを　ｘｙ＝１の

不等式で

調べると

ほら

ほら

違うじゃん


ねー


17

であるから


正しい方の　領域と


ｙ＝ｘ　の　下側

を　みると


境界線は　含まず

赤い所



18

次の　不等式の　領域を

求めよ



19

絶対値を

0以上で

外すと



20


円の方程式　周上と内部

それと

絶対値を　外したときの

条件から



こんな感じ

21

絶対値を

負で　外すと


22

今度は

円の方程式が　ちょっと変わって

周上と内部


絶対値を　外した　条件を

入れると


23

小さい円と　大きい円

ピッタリ　くっついてると思うけど


計算して

見るとさ


24

大きい円と　直線の　交点は


25

これだ


26

小さい円と　直線の交点は

コレダ


あってる



27

だから

こんな　ヒョウタンみたいな　かたちに



28

次の　点A　、B　について

次のPの集合は

どうなるか



29

P(x,y)　として


AP　　BP

点と直線の距離を

計算したらば


30
ソレゾレ


こんなだからさ


31

両方とも

線分の　長さで

正の　数量だから

二乗しても

大小関係は　変わらない

そこで

辺々　二乗　して

√を　はずして　



32

円の　方程式かなとも思ったんだけど


整理したらば


簡単な1次式になって

こうです



33

今の要領で

B　‭も見ていくと


34


点と直線の距離から

辺々二乗して


展開して


35
まとめて

見ると

円の方程式になって


36


こんな感じ



37


次はですね

領域の　面積を

求めるんですが


38


A,B,C

領域があって

AカップB　と　（　A　∪　B )　キャップ　C


であるから

Aと　Bの　全てに対して

Cが　共通している部分




39

Aの　領域がさ

絶対値が　2重になってる


歌の　グループの　さ　あれはいいんだけど

いいじゃナイスカね


絶対値の時は

深呼吸して

えーと


40




先ず外側から

そうするとさ


-2以上　2以下


または

-2以下　と　2以上


41


さらに

その　内側の　絶対値　ｘは　


0以上と　0以下で

符号が変わるので


今回の領域は　線上を含みますため

等号が　正の符号にも

負の符号にも　付いてます




42

場合分けを　して

はずしてくと


➀　　　Xが

−２以下の時



43

�A

Xが　-2以上　0以下の時



44
�B
Xが　0以上　2以下の時



45
�C
Xが　2以上の時



46

全部　まとめると

Aは

Wみたいな　感じで

Bは　円形で



47
合体

さらに

Cは　Yが　2以下

であるので


48

線引きをして

求める

面積は

半円と　台形

を　足した形


パイアール二乗　の　半分と

（上底+下底）　×　高さ　割る　２



49
次はね

A,B,C

3つの集合があってですよ

（１）　Aが　Bに　含まれる　


か等しい


50

円の方程式

中心が　原点で　半径が　１


の　Aと



放物線　X二乗　+ｋ　の　線上を　含

開いた　内側


の　B




51

超　拡大図　にするとさ


ｋ＝−１　の時は

放物線が

円に　食い込んじゃう


だから

ｋの値を

放物線が

円に　接するとこまで

下してくると



そこで

判別式


52

X二乗を　消去して

Y　の　2次方程式


ここで

判別式：Dを

使て

D=0で



53


判別式から


54


ｋは　-5/4以下



55

（２）は

円の方程式の　周上及び内部

と

直線の線上及び　上側

が


空集合　になるときの　ｋ



56

直線が

円に　接するときは


連立から

判別式＝０


57

ｋは　プラスマイナス　√2



58

であるから

Aと　Bの　交わりが

空集合になるためには


ｋが　√2より　大きければよい



お疲れ様です。

大人のさび落とし

図形と方程式　

不等式と領域　（１）




01


どんな感じかと言うと


不等式で示された

領域が



グラフの　上　か　下　か



その見つけ方

ｙ大なりは　グラフに上

ｙ小なりは　グラフの下



わからないときは

特定の点を　式に代入して

不等式の　向きを　確認する


02

例えば

これらは




こんな場合は



03

こんな　表現で

聞かれるときも



04

キャップは　交わり

カップは　全て


05


動点の時は


06





以上踏まえまして

問題

（１）　（２）　の

不等式の　示す　領域を

図示せよ



07


（ア）

1次不等式


2次元の直線

３は　ｙ切片

傾きが　-2

で

グラフの　境界を含み　下側


08

大丈夫かどうか

特定の点を

代入したらば



09

グラフは


こんな感じ


式変形する前の

不等式に

特定の点を代入して

調べると


10

こんなかんじ


11

√のとこは

半円

半円より　下側で

-2から　2までの間

注意点は

ｘ＝−２　　ｘ＝２は　

境界線含む



12

さっきの　2番目　

（イ）の問題と

おなじでは　ないです



13

類題　行ってみましょう





14

グラフを　書いて

点を代入して

確認すると


15

（　画像　未　修正必要　）

場合分けして




16


グラフの　境界線を含み

この範囲


17

実数条件を調べて


18

半円の　周を含み　下側


19

問題


20

A.N.S

アフタ　・　ｎ　・ショー


21

三つ　式ができて来て

グラフを

書くじゃナイスカ



22


この

赤い　領域に　在れば　オッケイ


23

問題

これはさ

場合分けが　大変そうだね


24

ｘ系の　絶対値を外すと

2通り



25

ｙ系の絶対値を　外すと

2通り



26


４組に　場合を分けて

まず　2組


27


もう2組


28

それぞれの

領域を

合わせると

こうです


29


今度は

等号で

結んであってですよ



30

左辺　ｘの入ってるとこは

絶対値を

外してみたところ


片方だけ



31

右辺の　ｘの入った

絶対値を

外してみたところ

やはり

片方だけ


32

であるので

左辺　右辺で

xの入ってるとこは

左辺は　-ｘ+2

右辺は　ｘ+2



33

左辺の　ｙの入った

絶対値は


-1　以上か　

-1　以下か



34

整理すると


35

右辺の　yの入った

絶対値を外すと


1以上の時


36

1以下

の時


37

整理すると


38

これを

ｙの値で

場合分けして


等号で

結んで

�A�C　　➀�C　　➀�B

3っに　場合分け

ｙが　-1以下の時





39


ｙが　-1以上　1以下の時



ｙが　1以上の時



40

図にすると

こんな感じで


41

問題


42

先ずさ

グラフに　してみるじゃナイスカ


43

一本目


44

2本目


45

それで

AとBの交わり

A　∩　B　（キャップ）は

空集合ではない

なので

ｂが　a以上　うえにないと

aが　マイナスの時も考えて



46


長方形の面積なので


直角2等辺三角形の

比の値から


辺の　長さを　出してきて


縦横掛けると




お疲れ様です。

大人のさび落とし

空間座標とベクトル

空間図形（２）


01

問題

こんな感じに

立方体から

中点を選んで

連結すると

正六角形になるんだって

証明して


02

であるから

座標を使ってじゃナイスカ

こんな感じで

2分の　にするより

2倍しちゃえば

楽だから


03
座標を

設定したところで


それぞれの

辺の長さが

等しいか


二点間の距離の計算が

6問


04

同だ


05

同だ


06

みんな　同じだった


07


今度は

隣り合う辺の

なす角を

計算すると

計算問題　6問



08
120ど



09
同様に


10


120度


11

同様に


12

120ど


13


同様に


14
120度


15

同様に

120度




16

同様に

これはさ

実際に

過去に　某大学の入試に
出たんだそうだけど

やっぱり

全部　計算したのかな


17

で　さらに

3点を　ひっぱり出してきて

平面の方程式を

求めると


18
媒介変数表示形から


19
3本式が出て来て


20
法線ベクトルが


みんな同じだから


21
これが

平面の　方程式



22

残りの　3点を

ソレゾレ

代入したらば

全て

同一平面上にあるので

これはもう

正六角形だよ



23


問題



24

直線の　方程式は

こうだから




25

媒介変数表示形から


Z＝０

を

代入して




26

交点の　座標が出たので


影の　大きさは



27

ｎは　マイナスなんだね


28


問題

正方形を

平面に　正射影したんだって


そうしたら

影が

こんなで

平行四辺形になった

対角線のながさは



元の正方形の面積は



29


余弦定理を

使えば

早いよね



30

平行四辺形だからさ



31
余弦定理は

2乗だからさ

ルートで


32


問題は

次なんだけどね


真上から

ななめに　成ってる

正方形を

投影してるでしょ

だから

座標は　こんなんでさ

ただ

計算しやすいように



33
わざと

√２を　入れる形で


34

そうでもないか

で

なんか式が出て来て


35


もう一本

内積の
成分の計算から


36

式が出て来て



37
これを

解くと


38

4乗だからさ

置き換えて


39

長さだから

マイナスは

まずいよな


40

で

面積　ダメかな　と思ったんだけど

正方形だから

ABの二乗で

行けるんだからさ


ｂ2乗に　-1+√37を　代入したら





7+√37


お疲れ様です。

大人のさび落とし　

空間座標とベクトル


空間図形（１）


01

３垂線の定理と言うのがあるですが


02

問題を

図にしてくと


平面上に

2本の直線があると

Hで　交わってる

そこへ

平面ほかのPから　垂線を

下したとき

2直線に

垂線が　垂直ならば

任意の　平面上の直線に対しても

垂直であることを

示せ



03

だから

平面上に

もう1本　ｎ　と言う

任意の直線を

引くじゃナイスカ

他の2直線との　交点を

Q,R　とすれば


PH　垂直　L　なので

L 　上のベクトル　HQとも

当然　垂直


PH　垂直　ｍであるから

ｍ上のベクトル　HR　とも

当然垂直である

ここで

出てきた　➀�Aの式を

引算すると


PH　で　くくると


04

なんと

直線　ｎ　上の　ベクトル

RQ　と　垂直になってる

だから

PH　垂直　　ｎ



05

今度は

Hから　平面上の　直線に

垂線を　引いたばあい

その交点を　Qとすれが

PQ　垂直　L　であるを

示せ




06

PH　垂直　Lであるから

とうぜん

L　上の　ベクトル　QRとも

垂直である


Hから　Lに垂線を引いて

Qとしたのだから

当然

HQ　垂直　QRである


今度は

この　�B�C式を

足すと


07

なるんですよ


08


今度は

たまに　出て来そうな　問題です

地球は　丸かった



地球を　球と考えて

A地点を　北緯0度　東経0度


B地点を　北緯45度　統計35度


としたとき

地球の中心を　0として

角AOBは　何度か



09


空間座標を

考えるでしょ


10



普段から

こういう　計算してないと

あれって思いませんか



11

だからね

コレ　イメージわかるかな





12

だからね

Bの座標は　こうなんですよ



13


これで

空間座標の　なす角を

求めると



14

120度



15

問題

これは
ベクトルの　設定が

出来れば

半分できた


16

まず　基本的な　ベクトルは

こんな感じで


AP　と　CQ　を

こんな感じにできれば



17
２乗で　内積を

展開してくと


18

題意より

正四面体であるので

もうちょっと　簡単になる



19

こんな感じに

まとめて


20

整理して


21


これをさ

平方を　作ると


22


P,Qが　それぞれ

中点の時

最初になる



23

問題



24

これはさ


中点の　連結定理で

計算したらば


PQは



25
SRは



26
ここで

平行四辺形



27
で

PSは




28
QRは



29
PQ　と　PSは

必ず　平行とは　限らない

であるから


平行四辺形

お疲れ様です。

大人のさび落とし　

空間座標とベクトル

平面図形（２）


01

問題

・・・・・

外心って　なんだけ

垂心って　何だっけ

重心って　何だっけ


02

外心ってのは　

この場合

三角形ABCの外接円の　

中心




垂心ってのは

各頂点から

対辺に　下した垂線の交点


重心てのは

そこに　糸を　付けたとしたら

つり合うところ


出ですよ




垂心であるから

例えば　

AH　が　対辺BCに　垂直か

調べれば



03

まず

題意よりの式

ベクトルを

設定して





AHは　こうでしょ



04



BCは　こうだよね


内積を

計算すると



ダメかなっと思ったとき


Oは　外心なので

OA　OB　OCは　等しい

なったじゃナイスカ



05
同様にですよ


06

なるでしょ



07

同様にですよ


08

なりましたよ


09


だからじゃナイスカ


10


今度は

一直線上に

三角形の

外心　重心　垂心が

あることを　言うんですが


重心を　Gとしたら

OH　は　OGの　3倍


Oは　三角形の　外心


ハットトリックじゃナイスカ


11

問題


12

一見難しそう　なんだけど

垂直が出てきたよ


13

これも


14
これも


15

これは　垂心だよね


16


問題


17


外心は

三辺の垂直2等分線

の　交点だから


18
P　が　三角形ABCの

外心ならば

各辺の　垂直2等分線上に

Pがあるはずであるから



19

まず　BC　の　中点をMとすれば

HMは（ｂ+ｃ）/2

MPはHP-HM

これがさ


20

HA　と　平行

Hは　垂心だから

HA　と　BC　は　垂直

ということは

MPは　HAと平行なんだから

MP垂直　BC


Mは　BCの中点

なので

Pは　BCの　垂直2等分線上にある


21



同様に


QPも


22

ACの　垂直2値応分線上に

Pがある



23

同様に



24
ABの垂直2等分線上にも

Pがあるので



25


Pは　外心である


26

問題


27

図にすれば



Pが　円周上を動くとき


波線を　OK　とおくと


Kは定点

定点と　動点の　引き算になる



28

どうやら

Qは　円を　描くようで


29

OPが　各頂点に来るとき

Oは　外心であるから

OPとOC

OPとOB

OPとOA

が　それぞれ等しくなる

そうすると

中点を

通ってる


30

同様に



31

三角形　の　各辺の　中点を

通る円を　描く



お疲れ様です。