Excel VBA　数学実験室

両端で減衰する関数

　前回に引き続いて無理関数です。
　まずは比較的シンプルなものから：

　

　f(0) = 1 を頂点とする左右対称の山なりの関数です。
　y = 1/x に近い勾配をもつ曲線ですが、分母は必ず正値をとるので x = 0 で定義されつつ滑らかに連結されています。この関数に三角関数を掛けてみましょう。

　

　f(x) は原点にピークを持ち、両端で減衰していく関数。
　g(x) は概周期関数ですから周期は崩れてしまっています。
　しかし x → ±∞ で 0 に収束することには変わりありません。

周期的に滑らかでない点が現れます

　次は 1 + sin[pi*x]と、その平方根をとった関数です：

　

　f(x) は全域で滑らかな関数ですが、g(x) は x = 1.5, 3.5, 5.5, …… という滑らかではない点が周期的に現れます。滑らかではないというのはつまり、その点で微分が定義できないということです。g(x) を微分してみると


となりますね。g(x) がそのまま分母に入っていますから、 x = 1.5, 3.5, 5.5, …… でこの関数を定義することはできません。

y = 1 と同等なグラフ？

　次は分母・分子が共に２次関数の平方根という例：

　

　x が大きい領域では f(x) ≒ 1 とみなすことができます。つまり直線 y = 1 とほぼ同等なグラフと考えることができます。乱暴なようですが x → ±∞ では厳密にこれが成り立ちます。
　f(x) に cos[pi*x] を掛けた関数が g(x)です。原点付近で少し荒い動きをしますが、x が大きい領域では普通の三角関数として振る舞います。
　g(x) において分子を４次関数の平方根としたのが h(x) です。振幅は原点から２次関数的に増加していくことになります。

　最後に g(x) の分子を指数関数の平方根で置き換えてみます：

　

　この関数は指数関数 exp(x) を３段構えで抑え込んでいます：

　�@変数 x を pi で割る。
　�A平方根をとる。
　�B２次関数の平方根で割る。

　これだけ抑え込むと、さすがの指数関数もその効果をなかなか現しません。分母の減衰効果が先に効いて振幅をいったん小さくし、そのあと x = 8 以降に緩やかに振幅を回復させていきます。
　

るきさん

　知る人ぞ知る、知らない人はまったく知らない漫画『るきさん』を読み直したりしています。るきさんとえっちゃんという２人組の女性の日常を描いた漫画です。おっとりのんびりした性格だと思っていたるきさんが、けっこうびっくりな性格で驚いています。図書館の子供向けの本が置かれたコーナーに堂々と陣取って、そばにいた子供と本を取り合う場面なんて、まるで子供そのもの（るきさんの実年齢はおそらく 30 歳前後だと思われます）。
　しかしふと思うと『るきさん』は私の書く小説やブログにかなり影響を与えているような気がします。『英語の館』や『小夜子さんのブログ』で展開している『こばとちゃんシリーズ』の小春ちゃんと沙希ちゃんは、「るきさんとえっちゃんの関係によく似ているなあ」と今さらながらに思ったりしています。小春ちゃんも高校生とは思えないほど我儘で子供っぽい性格ですからね。
　そして小春ちゃん、沙希ちゃんもきっと３０代、４０代になってもずっと仲良く一緒に女友達しているのでしょう。しかし『こばとちゃんシリーズ』はリアルタイム形式で進行していますから、そういう姿を描くのは本当に 10 年以上先ということになりますね……それまでブログが続いているのか、正直言って自分でもわかりません。続けたいとは思っていますけどね。でもとりあえず、今年の４月には小春ちゃんたちは高校３年生になります。受験生ですね。小春ちゃんはともかく、沙希ちゃんは志望校の合格を目指して一生懸命勉強するでしょう。でもきっと、そういうときに "こばとちゃん" がふらふら飛んで来て邪魔するんでしょうけどね。