こばとの数学基礎講座
三角関数とベクトル編⑨ 三角関数の具体的な値を求めましょう
以前にお話したように、円周上のベクトルは
で表されます。
今回は θ にいくつかの具体的な値を入れて、ベクトルの成分を確定させてみますよ。
まずは θ = π/4 から見てみましょー。
これは簡単ねー。x 座標と y 座標が等しくなる角度だから、
となります。次は θ = π/3 です。
んん？ 一見すると「ようわからへんなあ」と迷ってしまうかもしれませんけど、θ = π/3 = 60°は正三角形の角度だってことに気づけば、なんてことないのねー。
cos(π/3) は底辺の長さの半分になってるから、 1/2 だってことはすぐにわかります。図の h が sin(π/3) に相当する部分ですが、これは三平方の定理から
を解いて、h = √3/2 という値が得られます。つまり
となります。次は θ = π/6 です。
これは先ほどの三角形を横倒しにした形なので、θ = π/3 のときの x 成分と y 成分を入れ替えるだけです。つまり
となります。θ = π/2 + π/6 = 2π/3 のように、角度が π/2 を超えるような場合でも、単位円を描けば、三角関数の値を知ることができるのです。
図にあるように、
となります。とはいえ、こんなふうに単位円から求められる点はごく限られていて、あらゆる角度について三角関数の値を計算しようと思ったら、微分積分で級数展開式を学ばなくてはなりません。それについてはずっと先のほうでお話する予定ですけど、とりあえず今のところは代表的な角度について素早く三角関数の値を計算できるように練習を繰り返してください。 ≫ 次回は「ベクトルの大きさ」ですよ～
