今回は数学ⅠA の範囲で解ける問題です。
問題69 最大の体積をもつ直方体 [高１★★☆☆☆]
表面積が S である直方体のうち、体積が最大となるのはどのような形ですか。またそのときの体積を S を用いて表してください。[ヒント] 今回はヒントなし。
問題 69 の解答
直方体の辺の長さを x, y, z とします。表面積 S を x, y, z で表すと
となります。ここで 3 変数の相加平均と相乗平均の関係式
を用いて
少し整理すると
ここで直方体の体積は V = (xyz)3 なので
体積が最大となるのは x = y = z が成立するときなので、求める直方体は立方体です。また、そのときの体積は
となります。
