いきなりですけど、714 と 715 を素因数分解してみます。
714 = 2・3・7・17
715 = 5・11・13
715 = 5・11・13
それぞれについて、素因数を足し合わせた数を比較してみると
2 + 3 + 7 + 17 = 29
5 + 11 + 13 = 29
5 + 11 + 13 = 29
となって、お互いに等しくなっていますね。このように２つ連続した自然数のそれぞれの素因数の和が、互いに等しくなる組のことを ルース＝アーロン・ペア (Ruth–Aaron pair) と呼びます。実はこの名称、野球（ベースボール）に由来するのです。
1935 年にメジャーリーグの強打者ベーブ・ルースが達成した通算本塁打記録 714 本を、1974 年にハンク・アーロンが 715 本の本塁打を放って破りました。その数がちょうど上のような性質を備えていることから、２人の名をとって、 ルース＝アーロン・ペア とよばれるようになりました。
第１定義のルース＝アーロン・ペア
ルース＝アーロン・ペアには２種類あって、その１つは同じ素因数は重複して数えないとする定義によるものです。たとえば、104 = 23・13, 105 = 3・5・7
について、それぞれ素因数を重複しないように足し合わせると
2 + 13 = 15, 3 + 5 + 7 = 15
となって、(24, 25) は第１定義のルース＝アーロン・ペアということになります。他にも (5, 6), (24, 25), (49, 50) などが第１定義に従うルース＝アーロン・ペアです。
第２定義のルース＝アーロン・ペア
２つめの定義は、とにかく素因数は全て足してしまおうというもの。125 = 53, 126 = 2・32・7
ですから、それぞれ素因数を全て足し合わせると
5 + 5 + 5 = 15, 2 + 3 + 3 + 7 = 15
となるので、(125, 126) は第２定義に従うルース＝アーロン・ペアです。この定義に従うルース＝アーロン・ペアは小さいほうから、 (5, 6), (8, 9), (15, 16) などがあります。
