ファクトリオン
階乗のことを英語で factorial とよびますが、factorion という言葉はおそらく普通の辞書には載っていないと思います。 ファクトリオン とは 各桁の階乗の合計値が自身と等しくなる数 のことです。もっとも小さなファクトリオンは 1 （1! = 1）、その次のファクトリオンは 2 (2! = 2) となります。その次は 145 です。1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145
そして残る数は 40585 だけです。
4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 40585
十進数の範囲では
1, 2, 145, 40585
以外のファクトリオンは存在しないと証明されています。
ダブルファクトリオン？
そこで各桁の２重階乗の合計が自身に等しくなる数（ダブルファクトリオン）はどれくらいあるのかと思ってエクセルで調べてみました。ダブルファクトリオンは私が勝手に定義した数で２重階乗を表す英語 double factorial にちなんでいます。２重階乗は0!! = (−1)!! = 1
(2n)!! = 2n・(2n −2) ・・・ 4・2
(2n + 1)!! = (2n + 1)・(2n − 1) ・・・ 3・1
というように値を２つずつ落として積をとる階乗です。で、ダブルファクトリオンを探してみると、これもまたとても希少な数なのです。
1!! = 1, 2!! = 2, 3!! = 3
ですから、 1, 2, 3 はダブルファクトリオンです。その次は 107 です。
1!! + 0!! + 7!! = 1 + 1 + 7・5・3・1 = 107
で、「次の数はあるかなー」と思いながら 999 まで計算させてみましたが、ダブルファクトリオンは１つもありませんでした。次は４桁の数を調べてみる予定ですけど、かなり体調を崩していて、きちんとしたプログラムを組めない状態です。見つかったら追記に載せますので、もうしばらくお待ちください。
残念ながら 10,000,000 まで計算してもダブルファクトリオンは見つかりませんでした。やはり 107 が最大のダブルファクトリオンなのではないかと推測されます。いやもしかすると、もっと大きな数で見つかるかもしれませんが、PC のスペックの関係上、10,000,000 以上の値を計算させるのは途方もなく長い時間がかかります。また暇があるときにプログラムの効率を見直して、30,000,000 ぐらいまでは試してみるつもりですけど ...... たぶん見つからないだろうなあ。
