Excel VBA　数学実験室

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　久しぶりに大学生用の問題を用意しました。有名なフィボナッチ数列の一般項を求める問題ですが、線形代数学の要素がぎっしり詰まっています。大学で学んだ線形代数学の知識がしっかりと身についているか確認するつもりで解いてみてください。


[ヒント] きつい問題ですが、基礎的なことを積み上げていけば必ず正解に辿り着けます。「固有値を求める」、「対角化する」。この２つがポイントになります。
　

解答43（フィボナッチ数列の漸化式を行列で表現します）

　まずは漸化式を行列で表現してみます。行列を作用させたあとのベクトルの第１成分が F_{n + 1} と F_n の線形結合になっていればよいので、


とおいて


と表現できます。この行列漸化式によって、


と順次決まっていきます。よって F_n は


と表されます。つまり今回の問題はこの行列の n − 2 乗をどのように計算するかを問われています。そのためには行列を対角化して


という形にしなくてはなりません。すると行列を右から掛けていくことによって P と P⁻¹ がキャンセルされていくので簡単に計算できるようになるのです。そしてこの P とは行列 A の固有ベクトルを横に並べたものとなっています。実際に固有値と固有ベクトルを計算してみると、その意味はすぐにわかります。行列 A の固有方程式は


ですから、これを解いて


が得られるので、


と書くことができます。２つの固有ベクトルを並べて


というようにまとめて書けるので、右から逆行列をかけて


となるので、P は固有ベクトルを並べたものであることがわかります。

　x₁ = αy₁, x₂ = βy₂ ですから


という固有ベクトルを得ます。 P とその逆行列は


となります。あとは


を解と係数の関係


の関係を使って計算し、最後に α と β に値を入れると、


が得られます。

[補足] フィボナッチ数列

　�@ １つがいのウサギがいます。
　�A ２ヶ月後に１つがいのウサギを産みます。
　�B ３ヶ月後にもとの親ウサギと産まれたウサギがそれぞれ１つがいのウサギを産みます。

　

　これを延々と繰り返すのがフィボナッチ数列です。具体的には


というように簡単に書き並べていくことができます（前の２つの数字を足して次の数字を作っています）。フィボナッチ数列は不思議な性質をたくさん備えており、この数列を扱っただけで１冊の本が書けるほどです。このブログでも問題を通して、少しずつその性質を明らかにしていきたいと思っています。