アフィリエイト広告を利用しています

2016年02月29日

方形らせん(方形が拡大されていきます)

 少し前にアルキメデスの螺旋(らせん)を扱いましたね:

r = θ

というもっとも基本的な螺旋です。(x, y) は

x = θ cosθ, y = θ sinθ

と表せました。

方形らせん(方形が拡大されていきます)


 今回はアルキメデス螺旋を少し変形して

x = θ cos2θ, y = θ sin2θ   [1]

という関数を考えてみます。さっそくグラフを確認してみましょう:

 01アルキメデス螺旋^2.gif

奇妙なグラフが現れましたね。このグラフを見ると [1] から媒介変数 θ を消去することはできそうにありません(x と y だけでこのような複雑なグラフを表現することは不可能だと思います)。しかし [1] から x と y は

x + y = θ

という関係にあることだけはわかります。
つまり θ を 0 から動かし始めた場合、

x + y = 0
x + y = 0.1
x + y = 0.2
x + y = 0.3
・・・・・・
x + y = 1.0
x + y = 1.2
・・・・・・

というように、(x, y) は少しずつ切片の変化する直線上を動き続けるわけです。結果として x 軸と y 軸で折り返す波のようなグラフができあがりますが、実はこの曲線は螺旋を第1象限の中に閉じ込めた形なのです。これを普通の螺旋に表示し直すには前回定義した、

x = cosθ |cosθ| p - 1
y = sinθ |sinθ| p - 1

という形を基礎にした方程式が必要となります。
今回は p = 2 として x, y にそれぞれ θ をかけた方程式:

x = θ cosθ |cosθ|
y = θ sinθ |sinθ|
によって実数全域に拡大できます:

 02方形螺旋.gif

 方形を拡大していくような螺旋が現れましたね!
 「方形螺旋」と名づけておきましょう。

 アステロイドに対しても同じような変形を加えてみます。
 アステロイドの方程式は

x = cos3θ, y = sin3θ

ですね。三角関数の指数が奇数の場合は絶対値記号を使わなくても、そのまま螺旋形へ拡大できます:

x = θ cos3θ, y = θ sin3θ

としてグラフを描いてみますと……

 03アステロイド螺旋.gif

 はい。アステロイド螺旋のできあがり!
 それにしても数学のグラフって、少し手を加えるだけで無数のバリエーションが生じるので本当に面白いですよね。それではまた次回お会いしましょう!
 ⇒ なんとなくの数学日記(私の好きな漫画ベスト3)  
検索
Excel VBA 数学教室
数学問題集(解答付き)
下剋上算数
ベクトル解析
サッカーマティクス
Excelで学ぶ統計解析
和算的思考力
学び直し
整数論の理論と演習
大人が手こずる算数
東大生の知恵袋
フーリエ変換
インド式秒算術
Excelで学ぶ微分積分
Excel 数学シミュレーション
オイラーの贈物


ファン
最新記事
カテゴリーアーカイブ