相加・相乗平均の関係をグラフで解析します
証明問題に多用される定理の１つに相加・相乗平均の関係がありますね：等号成立は α = β のときです。
ここで、α = x, β = a とおいて、相加平均と相乗平均の差分をとってみます。
相加・相乗平均の関係から f(x) ≧ 0 が成り立つはずです。
グラフで確認してみましょう。
パラメータ a のところで最小値をとる関数です。 a = 1, 2, 3, ...... と変化させると最小値を与える x も同じように正方向にシフトしていきます。念のために f(x) の微分を 0 とおいて確認しておきましょう：
f'(x) = [1 - sqrt(a/x)] = 0 ⇒ x = a （sqrt は√ のこと）
確かに x = a で最小値 f(a) = 0 をとります。
a = 2 のグラフを抜き出してもう少し詳しく解析していきます。
f(x) は α と β がどのような関係のとき、「相加平均と相乗平均の差がどのくらいなのか」ということを教えてくれます。たとえば上のグラフでは、β = 2 （対称式ですから α = 2 と考えても構いません）のとき、1≦α≦3 の範囲なら誤差 0.1 未満です。α の値が β から離れていくと誤差は大きくなっていきますが、特に α が小さいほうへずれていくとき、より急速に誤差が大きくなっていくことがわかります。たとえば α = 0.1, β = 2 のとき、
相加平均 = 1.005, 相乗平均 = 0.141
[相加平均 - 相乗平均] = 0.859
となります。相加平均は２つの数値の真ん中を返す平均ですから直感的に分かりやすいのですが、相乗平均は片方の値が真ん中からずれると、（相加平均と比較して）その値を小さめに見積もる傾向があることがわかります。つまり β に対して α が小さいときには、α のほうに重心がおかれ、逆に α が大きい時には β 側に重心がおかれるということです。
⇒ 理系英単語
