x < 0 で深い谷を形成します
2 次関数に指数関数を掛けます：y = [x2 + ax + 1] exp(－x) a ≧ 0 [1]
a をパラメータとして変化させてグラフを描いてみます：
![①[２次関数]exp(-x).gif](/excelmathfunction/file/E291A05BEFBC92E6ACA1E996A2E695B05Dexp28-x29.gif)
x < 0 と 0 < x ではずいぶんと様相が異なります。 0 < x では速いペースで exp(－x) が 0 に収束していくので、2 次関数の効果は小さな山を作るだけで終わります。 x < 0 では a = 2 を境にして谷が急速に深くなっていますね。[1] を微分して極値をとる x を求めてみます。
y' = [－ x2 + (2 - a)x + a － 1] exp(－x)
y' = 0 とおいて exp(－x) を落として解の公式を使うと
x = 1, 1 － a
という x 座標が得られます。x = 1 のとき極大値 MAX をとり、
MAX(a) = (2 + a)exp(－1) [2]
となり、極大値をとる x 座標は a に依存せず常に x = 1 の位置にあり、 a の増加にともなって山が高くなっていきます。一方で極小値をとる x 座標は a の増加に応じて少しずつ位置を変え、その極小値 MIN も a の関数です：
MIN(a) = (2 － a)exp(1 － a) [3]
上式から a = 2 が極小値の正負の境目であることが分かります。 a > 2 となると、 2 次関数で負になる部分に exp(- x) が乗じられてどんどん谷を深くしていくわけです。この境界については 2 次関数の部分だけで判定することもできます。
y = x2 + ax + 1
が x 軸と 2 点で交差する条件は判別式 D を使って、
D = a2 － 4 > 0
ですから、 a > 0 に注意して a > 2 が得られます。a = 3 の場合について 2 次関数を点線で添えて描いてみると ......
![②[２次関数]exp(-x)[a=3].gif](/excelmathfunction/file/E291A15BEFBC92E6ACA1E996A2E695B05Dexp28-x295Ba3D35D.gif)
2 次関数の負になる部分が大きな谷を作っていることがわかりますね。
⇒ なんとなくの数学日記（ブログのデザインに悩みます）
