当ブログ初登場の合同式を用いる問題です。
現在のカリキュラムでは数学ⅠA で学ぶようですね。
合同式になじみのない人は、下のほうにある解説を読んでから問題に挑戦してください。
問題25 合同式で余りを求めます [高１★★☆☆☆]
自然数 n = 2951413 を 9 で割ったときの余りを求めてください。[ヒント] 筆算で商と余りを求めるとか、なしですよ。念のため。
ちゃんと合同式を使った解答を作ってください。
合同の定義
整数 a, b に対して、a － b が m で割り切れるとき、
a ≡ b (mod m)
と書き、a と b は法 m について合同であるといいます。
a ≡ b (mod m)
と書き、a と b は法 m について合同であるといいます。
この一般的な書き方は分かりにくいので、もう少しくだけた表現で書き直すと、
整数 a, b を m で割ったときの余りが等しいとき、
a ≡ b (mod m)
と書き、a と b は法 m について合同であるといいます。
a ≡ b (mod m)
と書き、a と b は法 m について合同であるといいます。
...... やっぱり今ひとつ分かりにくいかもしれませんので、実際の数で確認してみます。
たとえば、
a = 21, b = 13
という数を選んでみましょう。それぞれ 8 で割ってみます。
a/8 = 21/8 = 2 余り 5
b/8 = 13/8 = 1 余り 5
b/8 = 13/8 = 1 余り 5
となって余りが等しいことがわかります。なので 21 と 13 は 8 を法として合同で、
21 ≡ 13 (mod 8)
と書きます。ところが a, b を 7 で割ると、
a/7 = 21/7 = 3 余り 0
b/7 = 13/7 = 1 余り 6
b/7 = 13/7 = 1 余り 6
となって、21 と 13 は 7 を法とした場合には合同ではありません。
合同式の加算・減算・乗算・べき乗
a1 ≡ a2, b1 ≡ b2 (mod m) のとき、
(1) a1 + b1 ≡ a2 + b2, a1 － b1 ≡ a2 － b2
(2) a1 b1 ≡ a2 b2 (3) a1n ≡ b1n
(1) a1 + b1 ≡ a2 + b2, a1 － b1 ≡ a2 － b2
(2) a1 b1 ≡ a2 b2 (3) a1n ≡ b1n
証明は易しいので省略します。気になる人は教科書やネットで確認しておいてください。
ここでは具体的な数を使って上の定理が成り立っているかを確認しておきます。
8 ≡ 5, 7 ≡ 4 (mod 3) を使って確かめてみましょう。
a1 = 8, a2 = 5, b1 = 7, b2 = 4 です。
(1) a1 + b1 = 15, a2 + b2 = 9 ですから、
15 ≡ 9 (mod 3)
加算について確かに成り立っています。 a1 － b1 = 1, a2 － b2 = 1 ですから、
1 ≡ 1 (mod 3)
減算についても成り立っています。
(2) a1 b1 = 56, a2 b2 = 20 です。
56 ≡ 20 (mod 3)
乗算も成り立っています。実際に割り算をしなくても、左辺 － 右辺 = 36 が 3 で割り切れることがすぐにわかります。
(3) とりあえず n = 2 だけ確認しておきましょう。 a12 = 64, a22 = 25
64 ≡ 25 (mod 3)
べき乗についても成り立っていますね（左辺 － 右辺 = 39）。
⇒ 問題 25 の解答はこちらです！
