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2015年09月27日

対数関数の肩に対数関数(右肩上がりで極小値が1つです)

 久しぶりの本編再開となります。

対数関数の肩に対数関数


 y = logx logx という関数を考えてみます。
 底は e です。x > 1 で定義するので、全域で正の関数となります。

logx^logx.gif

 全体的に右肩上がりですが、極小値を1つもちます。実はこの極小値、手計算で比較的簡単に求めることができます。微積分が扱える人のために、計算過程をのせておきます。以前にも1度似たような計算をしましたが、関数の肩に何か別の関数がのっているときは、両辺の対数をとると微分の道筋が見えることが多いです。 y = logx logx の両辺の対数をとると、

両辺の対数をとる

 となって比較的すっきりと見やすくなります。ここで両辺を x で微分すると、

両辺を微分

 y′= 0 とおいて極値をとる x を求めますが、y > 0 ですから y は取り払って構いません。計算してみると、

極値をとる値を計算

 という綺麗な解が得られます。極値も

極値

とシンプルな形になっています。
 

LaTeXエディタ

 数式を LaTeX エディタのページから読み込むことにしましたが、もしかすると、お使いの環境によってはうまく表示できていないかもしれません。私自身も、あるインデックスページで "invalid equation" というエラーメッセージを見つけました。他のページでは問題ないので、どういうことなのかまだわかりません。もし閲覧できない式を見つけたら、お使いになられているブラウザの種類と、「ここのところが表示されてないよ」というコメントを送っていただけると助かります。あまりに問題が多いようでしたら、従来の表式に戻します。
   
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