2016年06月25日

沙希ちゃんの大学受験(合格率を計算します)

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 こばとちゃんのお友達の比留間沙希ちゃんは高校 3 年生。
 コツコツと真面目に勉強しながら受験に備えています。

問題20 沙希ちゃんの大学受験 [高2★☆☆☆☆]

 沙希ちゃんは国立と私大合わせて 3 つの大学を受験する予定です。 A 大学に合格する確率は 30 %, B 大学と C 大学に合格する確率はそれぞれ 60%, 90% とします。

(1) 3 つの大学全てに合格する確率 P1 を求めてください。
(2) 3 つの大学全てが不合格となる確率 P2 を求めてください。
(3) 3 つのうち 1 つの大学に合格する確率 P3 を求めてください。
(4) 3 つのうち 2 つの大学に合格する確率 P4 を求めてください。
(5) P1 + P2 + P3 + P4 を計算してください。

[ヒント] 難しくはないのですけど、あらゆる可能性を網羅するので計算がけっこう面倒です。(5) は検算ですから、ここでおかしな数字が出た場合は (1) から (4) のどこかで計算間違いをしているということです。
 
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解答20(乗法定理を用います)

(1) 確率の乗法定理に従って計算します。

   P1 = 3/10 × 6/10 × 9/10 = 162/1000 = 81/500 (16.2%)

(2) A, B, C それぞれの大学が不合格となる確率は 70%, 40%, 10% ですから、

   P2 = 7/10 × 4/10 × 1/10 = 28/1000 = 7/250 (2.8%)

(3) A 大学に合格し、B, C 大学が不合格となる確率は

   3/10 × 4/10 × 1/10 = 12/1000 = 3/250 (1.2%)

  B 大学に合格し、A, C 大学が不合格となる確率は

   6/10 × 7/10 × 1/10 = 42/1000 = 21/500 (4.2%)

  C 大学に合格し、A, B 大学が不合格となる確率は

   9/10 × 7/10 × 4/10 = 252/1000 = 63/250 (25.2%)

  以上の 3 つの確率を足し合わせて、

   P3 = (12 + 42 + 252)/1000 = 153/500 (30.6%)

(4) A, B 大学に合格し、 C 大学が不合格となる確率は

   3/10 × 6/10 × 1/10 = 18/1000 = 9/500 (1.8%)

  A, C 大学に合格し、 B 大学が不合格となる確率は

   3/10 × 9/10 × 4/10 = 108/1000 = 27/250 (10.8%)

  B, C 大学に合格し、 A 大学が不合格となる確率は

   6/10 × 9/10 × 7/10 = 378/1000 = 189/500 (37.8%)

  以上の 3 つの確率を足し合わせて、

   P4 = (9 + 108 + 378)/1000 = 504/1000 = 63/125 (50.4%)

 が得られます。別解として 1 − P1 − P2 − P3 を計算しても同じ答えが得られますが、(1) から (3) のいずれかで計算間違いなどをしていると、当然こちらも正しい答えが得られませんから、2 問を落としてしまう可能性があります。入試などではこのあたりのリスクを考慮するのも「確率的な」考え方です。

(5) (1) から (4) の結果を使って計算すると

   P1 + P2 + P3 + P4 = 1
 
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