2016年06月09日

ジャンケンでこばとちゃんがチョコアイスをゲットできる確率は?

 確率の基本的な考え方さえ分かっていれば、予備知識は一切必要ありません。ぜひとも大勢の人に挑戦してもらいたいです。今回はこばとちゃんの会社のお昼休みの一幕から出題です。

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問題13 ジャンケンでチョコアイス! [中3★★☆☆☆]

 バニラ、チョコレート、ラズベリーの 3 種類のアイスクリームを買ってきました。こばとちゃん、真理子さん、涼音さんはジャンケンをして勝った順に好きなアイスクリームを選ぶことに決めました。こばとちゃんと真理子さんは、大好きなチョコアイスを狙っています。涼音さんはどのアイスも同じぐらい好きです。こばとちゃんがチョコアイスを獲得できる確率を計算してください。

[ヒント] 確率問題は難しく考え過ぎるとどこまでも深みにはまってしまいますので、ご注意ください。ちょっとしたことに気づけば、答えはとっても簡単です。暗算で解けてしまう人もいるかもしれません。
 
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解答13 その@(3人ジャンケン)

 まずはオーソドックスに丁寧な順で解いてみます。ジャンケンに惑わされないようにしてください(どうしても気になる方のために記事の最後に 3 人で行なうジャンケンの確率計算を載せています)。全員が同じ条件で勝負するわけですから、以下の並び順が同じ確率で実現するはずです。

真理子涼音こばと
真理子こばと涼音
涼音真理子こばと
涼音こばと真理子
こばと真理子涼音
こばと涼音真理子

 並び方はこの 6 種類。それぞれが 1/6 の確率で実現します。

 まず「こばとちゃんがチョコアイスを失う確率」を計算するのがコツです。真理子さんがこばとちゃんより先に選ぶ場合は、こばとちゃんにチャンスはありません。そのケースは上の表を見ると 3 つありますから、

 [真理子さんがこばとちゃんより先に選ぶ確率] = 1/6 × 3 = 1/2

 また、涼音さんが第 1 位、こばとちゃんが第 2 位になった場合も、こばとちゃんはチョコアイスを失う可能性があります。そのケースは 1 つですから、

 [涼音さんが第 1 位になってアイスを選ぶ確率] = 1/6 × 1/3 = 1/18

 したがって、

 [こばとちゃんがチョコアイスを失う確率] = 1/2 + 1/18 = 5/9

となるので、これを 1 から引けば

 [こばとちゃんがチョコアイスを得る確率] = 1 − 5/9 = 4/9

という答えが得られます。
 

解答13 そのA(同じ条件で勝負しています)

 実はもう少し簡単な解法があります。こばとちゃんと真理子さんは全く同じ条件と目的で勝負していることに注目します。つまり「こばとちゃん、あるいは真理子さんがチョコアイスを失う確率」を計算するのです。言い換えると涼音さんがチョコアイスを取ってしまう確率です。涼音さんがチョコアイスを選べるのは、彼女が第 1 位になったときだけですから、

  [涼音さんが第 1 位になってアイスを選ぶ確率] = [2 × 1/6] × [1/3] = 1/9

これを 1 から引けば、

  [こばとちゃん、あるいは真理子さんがチョコアイスを獲得する確率」

  = 1 − 1/9 = 8/9

こばとちゃんと真理子さんは全く同じ条件で勝負していますから、どちらも同じ確率でチョコアイスを選べるはずです。なので 8/9 を 2 で割ると答えが得られます:

  [こばとちゃんがチョコアイスを獲得する確率] = 8/9 × 1/2 = 4/9

 

【補足】 3 人ジャンケン

 3 人ジャンケンで順位を決める確率計算について補足しておきます。3 人でジャンケンをする場合、それぞれがグー、チョキ、パーの 3 種類を選択するわけですから、その場合の数は全部で 33 = 27 通りあります。そこでたとえば、ある1つの並び方を取り出して、

こばと - 涼音 - 真理子

の順に決まる確率を考えてみます。 3 人ジャンケンでは、順位を決めるには最低でも 2 回のジャンケンをする必要があります。最初の 1 回目でこばとちゃんが 1 位となるケースは次の 3 通りです:

こばと涼音真理子
グーチョキチョキ
チョキパーパー
パーグーグー

 上のいずれのケースでも涼音さんと真理子さんが 2 位を決めるために 2 人でジャンケンをしなくてはなりません。涼音さんが勝つ確率は 1/2 ですから、最初の 1 回目でこばとちゃんが 1 位となって「こばと - 涼音 - 真理子」の順に決まる確率 は

3 × 1/27 × 1/2 = 1/18   (a)

となります。続いて最初のジャンケンで、こばとちゃんと涼音さんが勝つケースも 3 通りあります:

こばと涼音真理子
グーグーチョキ
チョキチョキパー
パーパーグー

 この場合は 2 回目のジャンケンでこばとちゃんが涼音さんに勝たなくてはなりません。「 1 回目でこばとちゃんと涼音さんが勝ち、2 回目にこばとちゃんが勝つ確率」は

3 × 1/27 × 1/2 = 1/18   (b)

 もう書く必要はないと思いますが、最初のジャンケンで、こばとちゃんと真理子さんが勝つケースも載せておきます:

こばと涼音真理子
グーチョキグー
チョキパーチョキ
パーグーパー

 先ほどと全く同じ計算で、「 1 回目でこばとちゃんと真理子さんが勝ち、2 回目にこばとちゃんが勝つ確率」は

3 × 1/27 × 1/2 = 1/18   (c)

となります。(a), (b), (c) を足し合わせると、「こばと - 涼音 - 真理子」の順に決まる確率は

1/18 × 3 = 1/6

となります。同じことが残りの並び方全てについても言えます。

確率問題、始めましたよ

 複雑な式を使わなくても解けてしまうのが、確率問題の良いところですよね。というわけで、今後も確率問題をちょくちょく出題していこうと思います。最初のうちは易しい問題から始めて、少しずつ難易度を上げていこうと思っています。ただ確率問題は普段の数学とはほとんど別物なので、慣れていないうちは戸惑うかもしれません。「微積分の問題ならバリバリ解けるけど、確率はちょっと ...... 」という人もけっこうおられるようです(実を言うと、私自身も学生の頃は確率問題が大の苦手でした)。しばらくは易しい問題を扱いますので、少しずつ頭を慣らしていってください。
 
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