これからのためのブログ

引き続き、大学入学共通テストから問題を解いていこうと思います。





問
ｐ、ｑを実数とする
花子さんと太郎さんは、次の二つの二次方程式について考えている。

�@ｘ^２＋ｐｘ＋ｑ＝０
�Aｘ^２＋ｑｘ＋ｐ＝０

�@または�Aを満たす実数ｘの個数をｎとおく。





(2)　ｐ＝−６のとき、ｎ＝３になる場合にｑの取りうる数は？

�@ｘ^２−６ｘ＋ｑ＝０

�Aｘ^２＋ｑｘー６＝０

なので、

ｘ^２−６ｘ＋ｑ＝ｘ^２＋ｑｘー６

ー６ｘ＋ｑｘ＋ｑ＋６＝０





（ｑ−６）ｘ＋（ｑ+６）＝０　この時点で１方程式になったので、これを

（ｑ＋６）（ｘ−１）＝０　となり、ｑ＝−６またはｘ＝１ですが、

ｑ＝−６だとＰ＝−６と同じになり、ｎの個数が減ってしまうことから、ｑ≠６





なので、ｘ＝１で計算すると

�@１^２−６＋ｑ＝０

　ｑ＝５

�A１^２＋ｑー６＝０

　ｑ＝５

というわけで、ｑ＝５。このとき、ｘの解が３個かどうかを調べてみると、

�@ｘ^２−６ｘ＋５＝０

　＝（ｘ−１）（ｘ−５）＝０　なので、ｘ＝１，５

�Aｘ^２＋５ｘ−６＝０

　＝（ｘ＋６）（ｘ−１）＝０　なので　ｘ＝−６、１

なので、ｘの解は３個である、となる。





他の解については、二次方程式の判別式（ax^２+bx+cの判別式は、D=b^２-4ac）を使って解いていきます。

�@の判別式　Ｄ１＝３６−４ｑ

�Aの判別式　Ｄ２＝ｑ^２＋２４

判別式が正の場合は異なる２つの実数解をもち、０の場合は重解を持ちます。なので、

�@０≦３６−４ｑ　⇒　ｑ≦９

�A０≦ｑ^２＋２４

�Aの式はｑ^２＋２４なので、ｑにどんな数字が入っても０より大きくなることから、重解を持つ式にならない。

そうすると�Aの式はｎが２個となるので、�@で重解を持つ必要がある。

なので、ｑ＝９となります。

なので、答えはｑ＝５、９となります。

長々と書きましたが、今後ともよろしくお願いいたします。