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2024年05月06日

数学I・A 過去問を丁寧に解説【第7回】

引き続き、大学入学共通テストから問題を解いていこうと思います。






p、qを実数とする
花子さんと太郎さんは、次の二つの二次方程式について考えている。

@x+px+q=0
Ax+qx+p=0

@またはAを満たす実数xの個数をnとおく。





(2) p=−6のとき、n=3になる場合にqの取りうる数は?

@x−6x+q=0

Ax+qxー6=0

なので、

−6x+q=x+qxー6

ー6x+qx+q+6=0





(q−6)x+(q+6)=0 この時点で1方程式になったので、これを

(q+6)(x−1)=0 となり、q=−6またはx=1ですが、

q=−6だとP=−6と同じになり、nの個数が減ってしまうことから、q≠6





なので、x=1で計算すると

@1−6+q=0

 q=5

A1+qー6=0

 q=5

というわけで、q=5。このとき、xの解が3個かどうかを調べてみると、

@x−6x+5=0

 =(x−1)(x−5)=0 なので、x=1,5

Ax+5x−6=0

 =(x+6)(x−1)=0 なので x=−6、1

なので、xの解は3個である、となる。





他の解については、二次方程式の判別式(ax+bx+cの判別式は、D=b-4ac)を使って解いていきます。

@の判別式 D=36−4q

Aの判別式 D=q+24

判別式が正の場合は異なる2つの実数解をもち、0の場合は重解を持ちます。なので、

@0≦36−4q ⇒ q≦9

A0≦q+24

Aの式はq+24なので、qにどんな数字が入っても0より大きくなることから、重解を持つ式にならない。

そうするとAの式はnが2個となるので、@で重解を持つ必要がある。

なので、q=9となります。

なので、答えはq=5、9となります。

長々と書きましたが、今後ともよろしくお願いいたします。



posted by ねこ at 09:00 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T・A
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