順列の計算法を知らなくても解けますが、ちょっと大変です。
問題27 整数と順列の問題 [高１★★☆☆☆]
abcd = a + b + c + d を満たす正の整数 (a, b, c, d) の組合せは何通りありますか？[ヒント] 整数問題ですが全ての組を求めよとは言っていません。まずある仮定のもとに 1 組の (a, b, c, d) を求めて、そのあと順列の計算に持ち込みます。
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解答27（まず順番を固定します）
問題で与えられた式abcd = a + b + c + d [1]
は a, b, c, d について対称ですから順番を固定することにします。すなわち、
1 ≦ a ≦ b ≦ c ≦ d [2]
と仮定して解を制限します。すると [1] より
abcd ≦ 4d ∴ abc ≦ 4 [3]
となって a, b, c は 4 以下の整数に制限されます。ここで a ≧ 2 とすると、
abc ≧ 23 = 8
となって条件 [3] を満たしません。ゆえに a = 1 と決まり、
bc ≦ 4 [4]
（ⅰ) (a, b) = (1, 1) のとき [1] は
cd = 2 + c + d ⇔ (c － 1)(d － 1) = 3
c ≦ d ですから、(c, d) = (2, 4) と決まります。
（ⅱ) (a, b) = (1, 2) のとき [1] は
2cd = 3 + c + d ⇔ (2c － 1)(2d － 1) = 7 ∴ (c, d) = (1, 4)
となりますが、c ≧ b = 2 なので適しません。
以上より、1 ≦ a ≦ b ≦ c ≦ d という条件下ならば
(a, b, c, d) = (1, 1, 2, 4)
と定まります。ここで順序の条件を解除すると、 (a, b, c, d) は (1, 1, 2, 4) を並び替えによって得られますから、
(□, □, □, □)
に 1, 1, 2, 4 を並べる順列となります。 2 つの 1 を区別して
1a, 1b, 2, 4
を並べる方法は 4! ですが、区別をなくすと、たとえば、
2, 1a, 4, 1b
2, 1b, 4, 1a
2, 1b, 4, 1a
については同じ並び方とみなされます。したがって 2 で割って
4!/2 = 12 通り
が答えとなります。
