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2016年02月19日

トラクトリックス(追跡線/牽引線)

 今回は tractrix (追跡線) を扱います。

トラクトリックス(追跡線/牽引線)


 牽引線とか犬曲線と呼ばれたりもします。
 「え? 犬曲線?」と驚かれるかもしれませんが、下図を見てご理解ください。

 トラクトリックス犬.png

 ポチ(P)は飼い主さんに伸び縮みしない紐でつながれています。
 で、図にあるように飼い主さんは水平移動していくのです。
 ポチは嬉しそうに尻尾を振って飼い主さんの後を追うわけですが、そのときポチの動く軌跡がトラクトリックスです。でも「犬曲線」なんてあんまりですよね。なので、もっと飼い主さんの愛情が伝わりそうな名前をつけておきました。名づけて……

わんこのお散歩曲線

です! どうですか? ダメ? それなら……

ポチと楽しくお散歩曲線

これもダメですか? まあ皆さんのお好きな名前で呼んでくださいな。

トラクトリックスは次のような微分方程式の解になっています:

(a 2 - y 2) y′2 = y 2

 思わず「う!」と唸りたくなるような強面の式ですが、見かけ通りけっこう手強い方程式です。微分方程式の扱いに自信のある方は解いてみてください。「どうしても解き方を知りたい!」というコメントがあれば解法を載せますが、できればそのコメントは勘弁してほしいです(たくさんの数式をブログに載せるのは本当に手間がかかるのです)。ネットか大学の図書館で探せばたぶん見つかります。

 解は対数を含んだ陰関数(implicit function)で表されます:

トラクトリックスの解

 定数が煩わしいので a = 1 としておきましょう:

トラクトリックスの解定数a=1

 媒介変数 t を用いると、

x = t - tanh(t), y = sech(t)   [2]

のように簡単な形に書けますが、今回は [1] のままで話を進めます。

 01追跡線.gif

 x = 0 で尖がった形のグラフです。
 この尖がりは √… の項に原因があります。
 それを確かめるために、この項を取っ払ってみましょう:

 02追跡線変形@.gif

 尖がりがなくなって滑らかに連結していますね。
 では再び項を元に戻して、log(…) の項に cos(y) をかけてみます:

 03追跡線変形A.gif

 原点付近でぐるりと1周する関数です。
 cos(y) の代わりに exp(y) をかけると・・・・・・

 04追跡線変形B.gif

 丸みを帯びた帽子のような形になりました。
 最後に欲張って cos(y) と exp(y) の両方をかけてみると・・・・・・

 05追跡線変形C.gif

 三角帽子の出来上がり。今回はこれでおしまい。
 

生もみじ饅頭

 広島名物の『生もみじ饅頭』というものを頂いたのでさっそく食べてみました。……人様から頂いた物なので、あまり文句は言いたくないのですが……んん……何と申しましょうか……とても微妙なのです。不味くはないのです。しかしはっきり「美味しい!」と断言することのできない微妙な味なのです。中に入っている餡(こしあん、つぶあん、抹茶の3種類ありました)はとても美味しいのですが、外側のもち米を使った皮のところの食感を何と表現してよいやら。私は昔ながらの『もみじ饅頭』のほうが好きですね。『生もみじ饅頭』について何か意見がありましたらコメントくださいな。
   
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