２次関数の頂点の軌跡
パラメータ a を含んだ２次関数
y = x 2 + ax [1]
を解析してみます。
a が変化するとそれに連動して頂点が動きます。
その軌跡の方程式を求めてみましょう。[1] を変形して
y = (x + a / 2) 2 − a 2 / 4
ですから、頂点の座標は
(X, Y) = (− a / 2, − a 2 / 4) [2]
となりますね。 a を消去すれば
Y = − X 2 [3]
という軌跡の方程式が得られます。これを図示してみると ......
Y = − X 2 に沿って頂点が移動しているのが分かります。
3 次元グラフで頂点の動きを確認してみます
実は３次元グラフを使うと頂点がどのように動くかひと目でわかります。a もまた変数と考えて、
f(x, a) = x 2 + ax [4]
という２変数関数のグラフを描いてみると ......
手前から奥に向かって a が変化します。
x - z 面に平行な断面図をとると放物線 [1] が現れます。
頂点が動く様子もわかると思います。
言い換えると [4] は [1] で a を連続的に変化させながら重ね合わせた曲面だということです。
⇒ なんとなくの数学日記（コメディのスタイル）
