2016年11月01日

Excel でカレーパンとクリームパン、瓢箪のグラフ

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 以前に正葉曲線 r = sin(nθ) を扱いました。
 n = 1 から n = 4 のグラフの概形を再掲します。

 正葉曲線まとめ.gif

 今回はこの正葉曲線の中身にさらに三角関数を入れ子にして、色々なグラフを描いてみようと思います。

カレーパンとクリームパン

 まず sin を入れ子にした

r = sin[θ+ sin(nθ)]

という極方程式のグラフを調べてみます。直交座標への変換は

x = sin[θ+ sin(nθ)] cosθ
y = sin[θ+ sin(nθ)] sinθ

となります。 n = 1 から n = 3 まで並べてみましょう。

 正葉曲線もどき@.gif

 個人的に気に入ったのは n = 2 のグラフです。
 何とも表現しにくい曖昧な形がまた面白いのです。
 カレーパンやクリームパンにも似ている気がしますね!

瓢箪みたいな形が現れました

 いえまあ、そんなおしゃべりはさておいて、次は

r = sin[θ+ cos(nθ)]

という極方程式のグラフを描いてみましょう。直交座標変換は

x = sin[θ+ cos(nθ)] cosθ
y = sin[θ+ cos(nθ)] sinθ


です。これも n = 1 から n = 3 まで並べてみると ......

 正葉曲線もどきA.gif

 これも n = 2 が断然に面白いですね!
 瓢箪みたいな形になっていますよ!
 「正葉曲線もどき」はなかなか味わい深いので、次回もちょっといじってみようかと思っています。
 

2016年08月09日

Excel で変幻自在のグラフを描きます

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Excel で変幻自在のグラフを描きます

 三角関数を含んだ媒介変数方程式

x = t(cost + sin2t), y = t(sinat + cos2t)

において a を変化させていきます。今回は細かい解説抜きでコンピューターの描き出す変幻自在のグラフを眺めて楽しんでください。

 yt(sint+sin2t).gif

 媒介変数方程式A.gif

 媒介変数方程式B.gif

 いかがでした? sin の変数を少し変えるだけでこれほど複雑に様相を変化させるのです。媒介変数表示の方程式は y = f(x) の形に表せないものがほとんどで、とても複雑な曲線を描きます。関数の組合せは無数にあると思うので、まだまだ知られていない形がたくさんあると思います。皆さんも「こんなグラフを見つけたよ!」というものがあれば、コメントで教えていただけると嬉しいです。
 ⇒ なんとなくの数学日記

2016年08月02日

Excel で鮫の歯のようなグラフを描きます

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Excel で鮫の歯のようなグラフを描きます

  何となく Excel をいじっていたらこんな面白いグラフを発見しました。

 @x=θ.gif

 鋭い歯のような形 が並んでいますね。
 この方程式をベースに色々と試してみると次から次へと変なグラフが出現しました。
 
 Ax=θsinθ.gif

 分子に sinθ と cos θ を掛けています。
 歪んだ菱形が連なったような形ですね。
 
 Bx=0.1θsinθ.gif

 y の分母から θ を取り去って、横スケールを調整するために x を 1/10 に縮めています。
 
 Cx=θsin2θ.gif

 開いた貝殻のような形? 上手く表現できませんね。
 
 Dx=θsin3θ.gif

 とても複雑な軌跡ですが、対称性は保たれていて美しいですね。
 sin の中の θ を少し変えるだけでグラフの形はどんどん変わります。
 皆さんもあれこれと試してみてください。
 ⇒理系英単語 15

2016年02月29日

方形らせん(方形が拡大されていきます)

 少し前にアルキメデスの螺旋(らせん)を扱いましたね:

r = θ

というもっとも基本的な螺旋です。(x, y) は

x = θ cosθ, y = θ sinθ

と表せました。

方形らせん(方形が拡大されていきます)


 今回はアルキメデス螺旋を少し変形して

x = θ cos2θ, y = θ sin2θ   [1]

という関数を考えてみます。さっそくグラフを確認してみましょう:

 01アルキメデス螺旋^2.gif

奇妙なグラフが現れましたね。このグラフを見ると [1] から媒介変数 θ を消去することはできそうにありません(x と y だけでこのような複雑なグラフを表現することは不可能だと思います)。しかし [1] から x と y は

x + y = θ

という関係にあることだけはわかります。
つまり θ を 0 から動かし始めた場合、

x + y = 0
x + y = 0.1
x + y = 0.2
x + y = 0.3
・・・・・・
x + y = 1.0
x + y = 1.2
・・・・・・

というように、(x, y) は少しずつ切片の変化する直線上を動き続けるわけです。結果として x 軸と y 軸で折り返す波のようなグラフができあがりますが、実はこの曲線は螺旋を第1象限の中に閉じ込めた形なのです。これを普通の螺旋に表示し直すには前回定義した、

x = cosθ |cosθ| p - 1
y = sinθ |sinθ| p - 1

という形を基礎にした方程式が必要となります。
今回は p = 2 として x, y にそれぞれ θ をかけた方程式:

x = θ cosθ |cosθ|
y = θ sinθ |sinθ|
によって実数全域に拡大できます:

 02方形螺旋.gif

 方形を拡大していくような螺旋が現れましたね!
 「方形螺旋」と名づけておきましょう。

 アステロイドに対しても同じような変形を加えてみます。
 アステロイドの方程式は

x = cos3θ, y = sin3θ

ですね。三角関数の指数が奇数の場合は絶対値記号を使わなくても、そのまま螺旋形へ拡大できます:

x = θ cos3θ, y = θ sin3θ

としてグラフを描いてみますと……

 03アステロイド螺旋.gif

 はい。アステロイド螺旋のできあがり!
 それにしても数学のグラフって、少し手を加えるだけで無数のバリエーションが生じるので本当に面白いですよね。それではまた次回お会いしましょう!
 ⇒ なんとなくの数学日記(私の好きな漫画ベスト3)

2016年02月23日

円と四角形の狭間にある図形

≫ 「Excel VBA 数学教室」の算数問題に挑戦!

円と四角形の狭間にある図形


 皆さんもよくご存知のように、

x = cosθ, y = sinθ

は媒介変数θで表された円の方程式ですね。では

x = cos 2 θ, y = sin 2 θ

はどんな図形を表す方程式でしょうか?
「こんな方程式見たことない!」
と驚く人もいるかもしれませんが、落ち着いてください。

x + y = cos 2 θ + sin 2 θ = 1

ですから、ただの直線です(正確にいうと x, y ≧0 定義される半直線)。
 わざわざ媒介変数表示する人なんていません。
 しかしたとえば、指数が 1 と 2 の中間点にあるような場合:

x = cos 1.5 θ, y = sin 1.5 θ

 これはどういう図形を表しますか?
 数学に強い人なら即座に「定義できない!」と答えるでしょう。
 そうですね。三角関数は負の値をとる場合がありますから、

x = (-1) 1.5

というような計算を実数の範囲で定義することはできません。
 もちろん複素関数を用いれば定義できますが、このブログではなるべく高校生にも理解できるように話を展開したいので、今の段階ではまだ複素関数を扱いません(こばとちゃんの基礎講座の進み具合を見ながら考えます)。

さて、全ての実数 p に対して

x = cos p θ, y = sin p θ

というような方程式を定義したい場合はどうしたらいいのでしょう?
もちろん単純に sinθ や cosθ の絶対値をとるというわけにはいきません。
そんなことをすると (x, y) は第1象限に限定されてしまい、円を描くことさえできません。あくまで円を含むような形で、きちんと閉曲線になるように定義し直したいのです。そこで各象限ごとの三角関数 sinθ, cosθ の符号を改めて下図で確認してみましょう:

 三角関数符号遷移図.gif

 このような符号の移り変わりを保ったままで、新しい方程式の定義を考えたいのです。そこで三角関数をそれ自身の大きさで割ってみることにします:

a(θ) = cosθ/|cosθ|, b(θ) = sinθ/|sinθ|

 a(θ) も b(θ) も確かに θ の関数ではありますが、1 か -1 の値しかとりません。象限が変わる毎に 1 と -1 の間を遷移するだけです。象限毎の符号は元の三角関数と同じです。そこでこの関数を用いて、

x = a(θ) |cosθ| p = cosθ |cosθ| p - 1
y = b(θ) |sinθ| p = sinθ |sinθ| p - 1

という関数を作れば本質的な意味で

x = cos p θ, y = sin p θ

を定義したと考えることができます。
ここで p ≧ 1 と決めておくと、この方程式は途切れなく続く閉曲線になります。

 それでは p = 1.0 〜 2.0 まで変化させながら、
 新しい方程式の描く図形を見ていきましょう:

 01新曲線p=1-2.gif
 真円から少しずつ変化して正方形に変化していく様子が見てとれますね。
 p = 1.4 や p = 1.6 は正方形と円の中間にあるような形容しがたい図形です。

 さらにパラメータを動かして図形の変化を追います:

 02新曲線p=2-3.gif

 今度は正方形の各辺が少しずつたわんで最終的にはアステロイド(p = 3.0)に変化しました! つまり、この方程式は円、正方形、アステロイドを全て含むことになります。

 さらに p を増やしていくとアステロイドはどんどん潰れていきます。
 たとえば p = 10 の図形を描くと・・・・・・

 03新曲線p=10.gif

 閉曲線内の面積はもはや見えないほど小さくなっていますね。
 p → ∞ の極限で2本の線分が交差するような図形になりますが、それでも「閉曲線である」という事実には変わらないのです。
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