2017年05月21日

最大の体積をもつ直方体

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 今回は数学TA の範囲で解ける問題です。

問題69 最大の体積をもつ直方体 [高1★★☆☆☆]

 表面積が S である直方体のうち、体積が最大となるのはどのような形ですか。またそのときの体積を S を用いて表してください。

[ヒント] 今回はヒントなし。

問題 69 の解答

 直方体の辺の長さを x, y, z とします。
 表面積 S を x, y, z で表すと

表面積S(xyz)

となります。ここで 3 変数の相加平均と相乗平均の関係式

相加平均相乗平均@

を用いて

相加平均相乗平均A

 少し整理すると

相加平均相乗平均B

 ここで直方体の体積は V = (xyz)3 なので

直方体の表面積と体積の関係式

 体積が最大となるのは x = y = z が成立するときなので、求める直方体は立方体です。また、そのときの体積は

表面積が一定の直方体の体積

となります。
 
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