2016年12月28日

スーパー楕円はストックホルムの都市計画に採用されました

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スーパー楕円(建築、インテリア、テーブル、ホットプレート ... )

 「四角いようなー、丸いような−」みたいな物って意外と身近にありますよね。
 ほら、テーブルとかホットプレートのように長方形から角をとった形です。
 この形状は数学者でもあり詩人、そして建築家でもあるピート・ハイン (PietHein) というデンマーク人によって考案されました。その名も スーパー楕円 です! 
 スーパー楕円は当初ストックホルムの都市計画に採用され、今では建築やインテリアデザインなど様々な分野で目にする形となりました。でもスーパー楕円は正式な数学用語ではないという話もあって、そのへんのところは私もまだよく理解していません。おそらくもっと広範に包括する代数曲線があると思うのですが、とりあえず世間一般(?)に知られるスーパー楕円は

スーパー楕円1

という式で定義され、もちろん普通の楕円 (p = 2) も含みます。
 一般的には p > 2 をスーパー楕円とよびます。 a = 2, b = 1 を固定すると

スーパー楕円2

となります。この式で p を変化させてグラフを描いてみます。

 スーパー楕円.gif

 緑、青、赤の順に p = 2, 3, 4 としてあります。
 緑色の楕円から徐々に長方形に近づいている様子がわかりますね。
 スーパー楕円は p → ∞ の長方形も含む方程式です。
 ちなみに一般的によく使われている形状が p = 2.5 としたものです。

 スーパー楕円25.gif

 この形状に限ってスーパー楕円と呼ぶ人もいるようです。
 今度は逆に p = 1 から値を小さくしていきましょう。

 スーパー楕円04.gif

 ひし形( p = 1 )から星形へ縮んでいく様子がわかります。
 この形は本質的にアステロイドと同じもので、実は以前にも

|x|p + |y|p = a

という方程式で似たような形を扱っています。 p → 0 とすると十字の線分へと収束していきます。次回はこのスーパー楕円方程式を少し変形してみる予定です。
 
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